时滞控制下的微梳状驱动器动力学研究

张琪昌， 任　环， 韩建鑫

(天津大学 机械工程学院 天津市非线性动力学与混沌控制重点实验室，天津　300072)



时滞控制下的微梳状驱动器动力学研究

张琪昌， 任环， 韩建鑫

(天津大学 机械工程学院 天津市非线性动力学与混沌控制重点实验室，天津300072)

在微梳状驱动器的直、交流两种驱动电压中，加入时滞速度反馈，建立了时滞影响下的微梳状驱动器的单自由度模型。假设驱动器以微小振幅振动，将含速度时滞反馈的静电驱动力进行泰勒近似展开，应用多尺度法得到时滞参数影响下系统的幅频响应方程;驱动频率在共振频率附近时，系统非线性振动随时滞参数改变时发生跳跃现象;不同的直流电压等物理参数状态下的系统振动频率和软硬特性不同，可以通过改变时滞参数控制不同物理参数下的系统的振动的稳定范围和幅值。经过计算并使用数值方法验证了结论，正时滞参数引起系统振动失稳，负时滞参数可使振动幅值跳跃现象消失。

微梳状结构；时滞反馈；控制；非线性振动

在MEMS谐振器中，梳齿状谐振器由于其能实现机械能和其他能量之间的转换，并且可以产生较大的振动幅值，是最早被研究出来并广泛应用于各个领域，如汽车安全气囊、小卫星、磁头驱动器这些产品中，MEMS梳齿式谐振器起到了十分重要的作用，因此梳齿式谐振器在MEMS研究领域受到普遍重视[1-3]。静电式梳齿微驱动器是应用较广泛的微驱动器，它具有效率高、精度高、激励形式多样等优点[4]，然而频率值有待提高，振动稳定受环境影响较大等动力学问题仍亟待解决。ELSHURAFA等[5]对微梳齿结构的动力学特性进行了研究，得到不同参数的软硬特性。ZHONG等[6]研究了微梳齿结构的齿状结构的形状对结构动力学特性的影响。张文明等[7]研究了物理参数如压膜阻尼对微机电共振传感器的动力学特性的影响。

由于微机电系统自身的结构、尺寸特点，限制了驱动器的稳定工作范围，降低了其工作可靠性。工作中，即使是很小的物理参数改变，也可能会使静电力驱动梳齿状谐振器产生较大影响，甚至产生吸合现象，使系统失稳。但在现在的实际设计中却几乎不考虑利用时滞因素对系统的有效控制。PYRAGAS[8]设计了一种时滞反馈控制来控制周期性不稳定的混沌系统实现稳定。NAYFEH等[9]利用加速度时滞反馈提高机床稳定控制装置的稳定性。HU等[10]研究了带有时滞反馈的Duffing振子的非线性，并且利用多尺度法研究速度反馈的全局稳定性。在单自由度系统平衡点附近对速度反馈的研究与位移时滞反馈相对比，可以扩展工作频率范围。NGUYEN等[11]用一种摄动方法分析了静电力驱动的微梳齿结构的非线性振动。SHAO等[12]在上述研究的成果基础上，在静电力驱动的微梁上加了时滞控制，比较两种时滞控制得到不同控制效果。有学者研究物理参数变化影响微梳状结构的振动稳定性。张峰等[13]等分析了静电梳齿结构结构稳定性随支撑梁结构参数的变化关系，并采用有限元仿真软件对计算结果进行了验证。尚慧琳等[14]研究了直流偏置电压和交流激励电压对静电驱动微结构驱振器安全域的影响。

从上述研究可知，梳齿结构的非线性振动特性的稳定与控制问题受到了广泛关注，且时滞反馈信号对于非线性振动的微梳状结构系统是十分有效的。从目前的文献可知，利用时滞反馈信号实现对微梳状结构非线性振动的控制的研究鲜有见到。

本文将速度反馈电压加入驱动电压，通过对系统的动力学分析，能够很好的实现对不同的驱动电压、结构参数的微梳状结构的振动稳定域、振动幅值和软硬特性变化等重要振动特性的控制。这对更好的稳定系统的输出，补偿系统参数的改变，提高梳齿的性能提供理论参考。

1　模型的表达

时滞反馈可以控制微梳状结构的非线性振动。为了更好地研究时滞因素对微梳状结构的影响，建立微梳状结构的集中质量模型(见图1)。

振动方程表示为：

(1)

根据梳状结构的运动特点，将速度时滞反馈电压加入静电驱动电压。静电力表达式为：

图1　微梳状谐振器模型图Fig.1　Model of folded-MEMS comb drive resonators

(2)

式中：Vdc和Vac分别为静电驱动的直流、交流电压。

反馈时滞速度为：

(3)

为方便计算，将方程按照如下原则无量纲化：

式中：Q为质量因子，N是梳齿的个数。单自由度微梳齿结构的无量纲化的方程表达为：

(4)

无量纲静电力表达式：

(5)

无量纲的x由平衡点和偏离平衡点的无量纲位移组成：

x=δ+u

(6)

δ为梳齿的初始间距x0的无量纲表达，代入式(4)：

(3Kδ2+1)u+δ+Kδ3

(7)

静电力表达为：

(8)

为分析梳齿结构运动稳定域，令式(7)中所有关于时间的函数为零，计算平衡点位置得到：

(9)

经过计算式(9)只存在一个δ=0的平衡点。

2　多尺度法求解

微梳状结构动力学系统是弱非线性系统,引入小参量ε，假设u=O(ε),ρ=O(ε3),GV=O(ε2)。

KL和KN是用摄动法对结构研究截断到小量第3阶得到的。将静电力表达式利用泰勒展式展开到第3阶。利用泰勒展式在平衡点δ=0附近将位移和静电驱动力部分展开到第3阶，代入式(8)并化简，忽略高阶项，整理无量纲的系统动力学方程为：

为研究主共振情况下的近似解，设激励频率和固有频率的关系为：

Ω=ω+ε2σ

(11)

式中：σ为调谐参数。

利用多尺度法对式(10)进行摄动分析。为使位移解不出现永年项，必有：

(12)

(13)

(14)

(15)

其中有效阻尼系数：

由式(15)得到脊骨线方程和最大振幅：

(16)

(17)

通过改变时滞反馈电压的幅值G控制有效阻尼系数，可以改变振幅。改变时滞时间可以周期性的改变有效阻尼系数μe和振幅。同时，若γ为正，可以得到软特性的幅频响应曲线；相反的，若γ负值可以得到硬特性的幅频响应曲线。同样由频率关系式(16)可以得到，时滞电压幅值和时滞时间可以调节频率参数。

3　理论分析和数值仿真

微梳状结构在实际应用中，可以通过改变直流、交流激励电压，材料属性、栅栏间距等参数控制其运动。本文通过反馈时滞电压激励，可以有效控制不同物理参数的结构的稳定振动范围、幅频响应等重要动力学参数。

3.1时滞因素对系统平衡稳定性的影响

为了更好地研究微小振动状态下的系统，将摄动法得到的解表达为a=a0+Δa和φ=φ0+Δφ，其中a0和φ0表示平衡位置，Δa和Δφ表示微小扰动。代入式(13)和式(14)得到：

(18)

式中：

λ2+mλ+n=0

(19)

式中：

m=μ0+g-gcos(ωτ)

(20)

根据文献[12]可知，令τ=π/ω，微梳状结构全时滞稳定的g和μ0需要满足条件：

g+μ0>0

(22)

由非线性振动理论可知，m>0和n>0保证了摄动解a0的稳定性。

本文以表1中的微梳状结构为研究对象[5]，取参数Vdc=20 V，Vac=20×10-3V，N=30使用摄动法和数值模拟研究梳齿结构的幅频响应见图2，两种方法结论拟合较好。图2中的时滞参数为G=0 mVs/m时的微梳状结构的幅频响应曲线，表现为明显的硬特性。可知在频率f=16 909 Hz发生跳跃现象，存在三个振动位移解。图3为式(15)设定激励频率f=16 909 Hz，微梳状结构振动的振幅随时滞电压幅值变化发生变化。从图3可知,时滞电压幅值G<-2 mVs/m时有一个稳定振幅；G在-2～14 mVs/m之间有3个振幅解，对比图2得到在相同的振幅范围内均发生跳跃现象。由稳定条件式(22)确定时滞电压幅值需要满足G<7.9 mVs/m。由式(21)得到在f=16 909 Hz的稳定解为实线部分，虚线为不稳定解。与幅频响应方程式(15)在此频率附近的跳跃现象相对应，三个振幅解中，有两个稳定解(分别为正向扫频和逆向扫频)，第三个为不稳定解。

表1　微梳状结构物理参数

图2　不同时滞电压幅值G微梳状结构幅频响应曲线Fig.2　Amplitude-frequency response curve of system under different value of G

图3　Vdc=10 V,Vac=5×10-3 V时，振幅-时滞参数函数曲线Fig.3　Amplitude-G response curve of Vdc=10 V,Vac=5×10-3 V

图4　不同时滞电压幅值G的稳定振动范围Fig.4　Stable vibration range curve of system under different value of G

图4描述了系统在不同时滞参数影响下的稳定振动区域，其中曲线围成的区域为不稳定振动区域。对比图2得到结论，正的时滞参数会扩大微梳状驱动器的不稳定振动区域。研究结论与文献[12]中负的时滞参数会导致静电驱动的微梁失稳的结论相反，说明了梳齿结构动力学特性的特殊性，对于分析微梳状结构振动的稳定区域很有意义。

3.2时滞因素对幅频响应的影响

3.2.1不同梳齿个数的情况

不同尺寸、型号的微梳状驱动器用于不同的结构内部[3]，梳齿个数为10～50个均有广泛应用。图5～图7分别显示了当微梳状结构的梳齿个数发生变化时，时滞反馈电压幅值G对不同系统在稳定振动时的幅频响应的控制：正负时滞可以增大或降低幅值；时滞电压幅值G为负数时系统近似为线性振动；时滞电压幅值G为正数时系统振动的跳跃区间变窄。常规的达到改变梳齿结构的幅频特性的目的需要改变其激励电压，容易造成吸合效应等不稳定状态，进而造成结构破坏。时滞控制装置能够有效的避免这些情况的发生。同时对比图5～图7可以得到：当激励电压为Vdc=20 V，Vac=20×10-3V时，梳齿个数增加时，共振频率变小，振动幅值减小。本文研究了时滞因素对具有不同梳齿个数的系统稳定振动的影响，对于控制不同型号的研究对象的振动具有参考价值。

图5　N=10不同时滞电压幅值G的系统幅频响应曲线Fig.5　Amplitude-frequency response curve of N=10 and different value of G

图6　N=30不同时滞电压幅值G的系统幅频响应曲线Fig.6　Amplitude-frequency response curve of N=30 and different value of G

3.2.2不同直流电压Vdc的情况

图8～图10描述了当Vac=20×10-3V，N=30，直流偏置电压Vdc分别为20 V、34.6 V、37 V时，时滞参数的变化对微梳状结构幅频响应的影响。将3幅图对比可知调节直流电压可以使振动变为近似线性，并且随着直流电压幅值的增大，结构发生由硬特性到软特性的明显变化，共振频率变大，共振峰值减小。为了获得具有软特性的解，驱动器需要被较大的直流电压驱动，同时也要防止电压过大，发生吸合效应。从图中可知，负的时滞控制增益可以降低系统非线性程度和振动幅值。当系统在较高直流偏置电压下工作时，可以降低时滞电压幅值以保证系统稳定。对于微梳状结构不同的设计参数，可以确定相应参数下的时滞参数取值范围，与直流偏置电压和交流电压一起更好地实现控制目的。

图7　N=50不同时滞电压幅值G的系统幅频响应曲线Fig.7　Amplitude-frequency response curve of N=50 and different value of G

图8　Vdc=20 V不同时滞电压幅值G的系统幅频响应曲线Fig.8　Amplitude-frequency response curve of Vdc=20 V and different value of G

图9　 Vdc=34.6 V不同时滞电压幅值G的系统幅频响应曲线Fig.9　Amplitude-frequency response curve of Vdc=34.6 V and different value of G

图10　Vdc=37 V，不同时滞电压幅值G的系统幅频响应曲线Fig.10　Amplitude-frequency response curve of Vdc=37 V and different value of G

4　结　论

本文对单自由度微梳状结构的非线性振动进行了研究。利用多尺度法获得被时滞参数影响的振动方程的解，由数值方法和多尺度方法获得幅频响应方程，通过研究发现：

(1) 梳齿个数增加时，共振频率变小，振动幅值减小；

(2) 随着直流驱动电压变化，幅频响应曲线会出现软硬特性的改变，共振频率和幅值会同时发生变化；

(3) 正的时滞反馈可以导致系统的硬非线性增强，跳跃现象明显，容易导致不稳定振动现象；

(4) 负的时滞反馈可以减弱系统的非线性甚至近似为线性振动，振动幅值减小，同时缩短系统达到稳定状态的时间，加强稳定性；

(5) 某些时滞控制增益可以导致三个振动位移解，利用稳定性分析可以确定其中的不稳定解，这与幅频响应曲线的跳跃现象一致。

[1] FAN L S, TAI Y C, MULLER R S. IC-processed electrostatic micromotors[J]. Sensors and Actuators A:Physical,1989,20: 41-47.

[2] 孟光,张文明. 微机电系统动力学[M]. 北京:科学出版社, 2008.

[3] 许立. 梳齿式振动微机械谐振器的相关特性研究[D]. 杭州：杭州电子科技大学，2010.

[4] 黄庆安. 微机电系统基础[M]. 北京：机械工业出版社，2007.

[5] ELSHURAFA A M, KHIRALLAH K, TAWFIK H H, et al. Nonlinear dynamics of spring soften and hardening in folded-MEMS comb drive resonators[J]. Journal of Micro-Electro-Mechanical Systems，2011, 20(4):943-958.

[6] ZHONG Z Y, ZHANG W M, MENG G, et al. Inclination effects on the frequency tuning of comb-driven resonators[J]. Journal of Micro-Electro-Mechanical Systems，2013, 22(4)：865-875.

[7] 张文明，孟光，周建斌，等. 参数激励下静电驱动MEMS共振传感器的非线性动力特性研究[J]. 力学季刊，2009, 30(1)：44-48.

ZHANG Wenming，MENG Guang，ZHOU Jianbin，et al． Nonlinear dynamic characteristics of electrostatically actuated MEMS resonant sensors under parametric excitation[J]． Chinese Quarterly of Mechanics，2009， 30(1):44-48．

[8] PYRAGAS K. Continuous control of chaos by selfcontrolling feedback[J]. Phys Lett A，1992, 170:421-428.

[9] NAYFEH A H, NAYFEH N A. Time-delay feedback contro-lof lathe cutting tools[J]. Vib Control,2012,18:1106-1115.

[10] HU H Y, DOWELL E H, VIRGIN L N. Resonances of aharmo-nically forced duffing oscillator with time delaystatefeed-back[J]. Nonlinear Dyn,1998, 15:311-327.

[11] NGUYEN T C, HOWE R T. A integrated CMOS micromechanical resonator high-Q oscillator[J]. IEEE Journal of Solid State Circuits,1999, 34(4):440-455.

[12] SHAO S, MASRI K M, YOUNIS M I. The effect of time delayed feedback controlleron an electrically actuated resonator[J]. Nonlinear Dyn,2013, 74:257-270.

[13] 张峰，苑伟政,常洪龙，等. 静电梳齿结构的稳定性分析[J]. 传感技术学报,2011， 24(8)：1122-1125.

ZHANG Feng, YUAN Weizheng, CHANG Honglong, et al. Analysis of lateral stability of electrostatic comb-drive structure[J]. Chinese Journal of Sensors and Actuators,2011,24(8):1122-1125.

[14] 尚慧琳，文永蓬. 一类静电微结构谐振传感器的吸合不稳定性研究[J]. 振动与冲击,2013，32(8)：8-13.

SHANG Huilin, WEN Yongpeng. Pull-in stability of electr-ostatically actuated MEMS resonant sensor and its control[J]. Journal of Vibration and Shock，2013， 32(8): 8-13．

Nonlinear dynamics of folded-MEMS comb drive resonators with time-delayed control

ZHANG Qichang, REN Huan, HAN Jianxin

(Tianjin Key Laboratory of Nonlinear Dynamics and Chaos Control, School of Mechanical Engineering, Tianjin University, Tianjin 300072, China)

A time-delayed velocity feedback was made in use in the DC and AC driving voltage of folded-MEMS comb drive resonators and a single degree of freedom model of the folded-MEMS comb drive resonators under the influence of time-delayed control was presented. The expression of the electricity driving force, recieving the velocity feedback under the condition of small vibration amplitude, was approximated with the Taylor expansion. The method of multiple-scales was used to obtain the amplitude-frequency response equation of the system under the influence of time-delay parameters. The change of time-delayed parameters may result in jumping phenomena in the nonlinear vibration of the system when the driving frequency is in the vicinity of resonance frequency. The resonance frequency and nonlinear characteristics of softening or hardening will vary under conditions with different physical parameters such as DC and AC voltages. The stability region and vibration amplitude of the system with different physical parameters can be controlled by changing the time-delay parameters. It is concluded that the positive time-delayed control gain makes the system instable and the negative time-delayed control gain leads to the disappearance of jumping phenomenais, which was verified by the numerical computations.

folded-MEMS comb; time-delayed velocity feedback; control; nonlinear vibration

国家自然科学基金(11372210；11102127)；高校博士学科点专项科研基金(20120032110010)；天津市应用基础与前沿技术研究计划(12JCYBJC12500；12JCZDJC28000)

2015-05-12修改稿收到日期：2015-08-26

张琪昌 男，博士，教授，1959年生

O322

A DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.14.007