对初中函数教学宜螺旋上升

朱锦源

函数是刻画和研究现实世界变化规律的重要模型，也是初中代数领域里的重要内容，它在初中数学中具有较强的综合性。在教学中，学生常常觉得学函数抽象深奥，高不可攀，教师也觉得函数难讲，讲了学生也理解不了，理解了也不会解题。事实果真如此难教难学吗？结合自己的多年教学实践和体会，我认为对初中数学函数教学宜进行螺旋上升教学。

全日制义务教育《数学课程标准》中提出的目标是学生在学段末最终应达到的目标，而学生对相应知识的理解是逐步深入的，不可能“一步到位”。所以笔者认为对于初中函数的教学可以分为四个学段进行。

第一学段可以定位在“通过求解一些简单而现实的问题，感受到现实中存在许多变化的事物和现象，并且其中是有规律可寻的”。

首先，在学习函数知识初期（即在七年级的函数认识初期阶段，仅仅让学生知道什么是变量、自变量、因变量），可以让学生亲自动手通过做“小车从不同高度下滑”和“变化中的三角形”的实验，收集“不同高度下滑的高度h”与“其对应的下滑时间t”“三角形的底边长x”与“三角形的面积y”之间的数据，让学生先体会变量之间的相依关系。此时教师可引导学生经历探索具体情境中两个变量之间关系的过程，获得探索变量之间关系的体验，并要求学生在变化过程中寻找出实验中的“自变量、因变量”；后在具体情境中理解什么是变量、自变量、因变量，在此过程中让学生能举出反映变量之间关系的例子，尝试对变化趋势进行初步的预测。

第二学段则通过解决某些现实问题，学习“寻找规律”的一些基本方法，并体验到掌握这些变化规律，可以帮助我们预测未来。

例如在“小车从不同高度下滑”和“变化是的三角形”的实验中，让学生明确“支撑物高度h”与“小车下滑时间t”“三角形的底边长x”与“三角形的面积y” 都在变化，其中t随h的变化而变化，h是自变量，t是因变量；x随y的变化而变化，x是自变量，y是因变量。

第三学段则在前两个学段的基础上，让学生学习有关函数的基本概念、知识，了解研究函数的一些基本过程和方法。学生对函数概念的理解就有一个逐步发展的过程，对函数进行螺旋上升式教学，有利于学生不断加深对函数思想的理解。

初中阶段引入的函数概念，是从运动变化的观点出发，用“变量”来描述函数：“在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，则称x为自变量，y为x的函数”。分析这个定义对函数概念内涵的文字描述，可以发现，它强调了函数定义中的“对应”，并且明确了“y对x是单值对应”。如前面“小车从不同高度下滑”和“变化是的三角形”的两个例子中，h是t的函数；y是x的函数。进而学习了解并研究各类函数（一次函数、正比例函数、二次函数、反比例函数）的图象及其性质。当然，此阶段为学习初中阶段各类函数知识的重点阶段。此阶段教师必须花费一定时间详细分类讲解，使学生能基本掌握各类函数的相关知识。

第四学段重视数形结合、加强函数与其它相关知识之间的横向联系与综合。

“函数是表示任何一个随着曲线上的点变动而变动的量。”函数自产生就和图形结下了不解之缘，函数的表示方法之一是图象法，即通过平面直角坐标系中的曲线上的点的坐标反映变量之间的关系。这种表示方法的产生，将数量关系直观化、形象化，提供了数形结合的研究问题的重要方法。教学过程中，要注意函数解析式与图象的结合这两方面的互补，体现两者之间的关系，突出两者间转化对分析解决问题的特殊作用。

由于函数与图象紧密关联：一次函数的图象是一条直线（正比例函数是一次函数的特例），二次函数的图象是一条抛物线，反比例函数的图象是双曲线。由于图象是由点构成的，而点在平面直角坐标系中，则用一组有序实数对来体现。当要求函数解析式时，则点坐标中的横坐标与自变量对应，纵坐标与函数值相对应，这样就能够得到关于待定系数的方程（或方程组）来求出函数的解析式。这正是体现了有序实数对与点坐标的对应关系。

函数教学是一个整体，其不同的分支之间存在着实质性联系，函数与其它相关知识之间也存在横向联系，各知识点之间的联系也正是升中考试的重要考点之一，这一点应当为学生所认识。具体做法是可以各种函数与其它相关知识之间采用“混编知识归纳”。

如我在九年级升中备考复习时，把各种函数及其它关联知识进行混编归纳，形成“顺口溜”：方程函数紧相联，一直二抛反双曲；画出图象三步骤，列表描点和连线；若求解析用待定，点横自变纵对值，组成方程（组）来求解，一一对应莫忘记（点的横坐标对应函数中的自变量、点的纵坐标对应函数中的函数值）。

在归纳二次函数开口方向、对称轴、顶点坐标相关知识时，形成“顺口溜”：二次函数一般式，y=ax2+bx+c （a≠0）；a正向上a负下，对称轴是x=-b/2a（a为正数时，二次函数的图象抛物线开口向上；a为负数时，抛物线开口向下）；要求顶点用配方，二次项系数化一后，一次项系数的一半，就是括号的第二项；[由于配方后会出现一个括号的平方的形式，如：y=a（x-h）2+k的形式中的 “-h”就是二次函数一般形式y=a（x2+bx/a+c/a）中b/a的一半（即b/2a），即二次函数一般形式经过配方后為y=a（x+b/2a）2+（4ac-b2）/4a]。

在归纳求解函数图象交点相关知识时，形成“顺口溜”：若求图象的交点，解析式组方程组。方程组解的组数，就为交点的个数。若是方程组无解，则两图象无交点。

通过以上四个学段的函数教学后，特别是经过第四学段的总结归纳后，学生在九年级的升中考试中，对于函数相关知识的掌握有明显的提高。

所以，对初中函数的教学应当根据学生的接受能力进行逐级递进、螺旋上升，这样更能符合学生的数学认知规律。