三角函数最值问题

石井臣

摘 要： 三角函数一直是中学数学的重点，也是难点，它的最值问题在考试中屡见不鲜，在几年来的单招考试中经常出现.其出现形式多种多样，有较强的变化性，或者在小题中单纯考察三角函数的值域问题；或者隐含在解答题中，作为解决解答题所用的知识点之一；或者解决某一问题时，应用三角函数有界性会使问题更易于解决.

关键词： 三角函数 最值问题 例题分析

三角函数一直是中学数学中的重点，也是难点，它的最值问题在考试中屡见不鲜，几年来的单招考试经常出现.出现形式多种多样，有较强的变化性，或者在小题中单纯考察三角函数的值域问题；或者隐含在解答题中，作为解决解答题所用的知识点之一；或者解决某一问题时，应用三角函数有界性会使问题更易于解决.主要有以下几种类型：

1.形如y=msinx+ncosx型的函数

该表达式是含有正弦函数和余弦函数的函数，并且都是一次的.解决此类问题的指导思想是利用两角和的三角函数公式把该式化成一个角的三角函数后再求最值.

化函数形式为y=sin（x+φ），其中tanφ=（m≠0）.

例1.函数y=4sinx+3cosx的最值是（D）

A.最大值是7，最小值是-7 B.最大值是4，最小值是-4

C.最大值是3，最小值是-3 D.最大值是5，最小值是-5

分析：化函数为y=sin（x+φ），即y=5sin（x+φ），其中tanφ=，再根据正弦函数值域求出次函数最大值和最小值.

2.与二次函数相类似函数y=asinx+bsinx+c的最值

特点是含有正弦函数和余弦函数且形如二次函数.

此种类型函数最值解法：①根据同角平方关系式首先统一函数名称；②利用换元法将函数转化为二次函数；③根据换元后的变量的取值范围确定此函数的最值.

例2.求函数y=cosx+cosx的最值.

解：令cosx=m，则函数可化成y=m+m，

又因为-1≤cosx≤1，所以-1≤m≤1。至此把函数最值问题转化为有条件的二次函数最值问题。

y=m+m的对称轴为m=-，可得：

当m=-时，函数取得最小值y=（-）+（-）=-；

当m=1时，函数取得最大y=1+1=2.

3.含有sinx、cosx的二次齐式函数最值问题

例3.求y=sinx+2sinxcosx+3cosx的最小值.

解：y=sinx+2sinxcosx+3cosx

=（sinx+cosx）+2sinxcosx+2cosx

=1+sin2x+1+cos2x=2+sin（2x+）

当sin（2x+）=-1时，y取最小值2-.

4.形如y=的函数最值问题

例4.求函数y=的最大值和最小值.

分析：代数式表示的是过点（2，2）与点（cosx，sinx）的直线的斜率，而点（cosx，sinx）是单位圆上的点，观察图形可以得出最值的求法，数形结合是数学中常用的一种解题方法.

解：单位圆的方程x+y=1，设过点（2，2）的直线斜率为k，则直线方程为y=k（x-2）+2，看图知当直线与圆相切时斜率分别取得最大和最小值.联立两方程消变量y得：

（1+k）x+（4k-4k）x+4k-8k+3=0.

令判别式△=-4（3k-8k+3）=0，得k==，

最大值为，最小值为.

例5.求y=cosx+sinx+2sinxcosx的最大值.

解：运用奇妙的换元，令sinx+cosx=t，-≤t≤，平方整理可得sinxcosx=，原式化为y=t+t-1，化为二次函数的条件最值问题.对称轴方程：t=-，所以，当t=时，函数取得最大值y=2+-1=+1.

通过归纳整理，大家对三角函数的最值问题不会非常陌生了，当然有关三角函数的问题很广，类型繁多，以上几种类型是中学数学学习中经常遇到的情形，遇到陌生题目类型，应该坚持化未知变已知，通过换元或者数形结合等数学方法解决问题.