抽丝剥茧其义自见

章薇薇

抽丝剥茧其义自见

章薇薇

平移、旋转、轴对称是初中数学中三种基本的图形变换，许多中考题也围绕着这三种变换进行命题，轴对称图形作为重要的考点之一，常常以不同的形式出现在我们的中考题中，下面以近年来各地的几个有代表性的中考题为例进行分析，让我们走进轴对称图形的世界，抽丝剥茧，一起来揭开它神秘的面纱..

责任编辑：沈红艳 见习编辑：李诗 email：czsshy@126.com

一、一题为基——关于轴对称图形的基础题

【原题】如图1，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E、D两点，EC=4，△ABC的周长为23，则△ABD的周长为（）.

A.13B.15C.17D.19

图1

【分析】根据线段的垂直平分线性质可得出，AD=CD，AE=CE，则AC=8，由△ABC的周长为23，EC=4，易得△ABD的周长.

解：∵DE是AC的垂直平分线，∴AD=CD，AE=CE=4，则AC=8.∵△ABC的周长为23，∴AB+BC+AC=23，∴AB+BC=15，∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC= 15，故选B.

【变式】如图1，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABC的周长为19cm，△ABD的周长为13cm，则（1）AE的长为多少？（2）若AD= BD，∠C=30°，则∠B是多少度？此时AB与DE有何位置关系？

二、一图为主——关于轴对称图形的作图题

【原题】如图2，在10×10的方格纸中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC位置如图所示.（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；（2）将△A1B1C1向左平移3个单位后得到△A2B2C2，画出△A2B2C2.

图2

【分析】利用轴对称的性质可得出三角形各顶点的对应位置，再用平移的性质得出各对应点的位置.

解：如图3，△A1B1C1，△A2B2C2即为所求.

图3

【变式】如图2，在10×10的方格纸中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC位置如图所示.（1）请求出图中△ABC的面积；

（2）请在x轴上找出点P，使得PA+PB的值最小；

（3）在方格纸中找出点D（点C除外），使得△ABD为等腰三角形，并画出所有符合条件的点D.

三、一法为本——关于轴对称图形的综合题

【原题】如图4，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE.若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°，①求证：AD= BE；②求出∠AEB的度数.

【分析】①证明两条线段相等是中考常见题型，而通法是证这两条线段所在的两个三角形全等.②结合①中所证的△ACD≌△BCE可得出∠ADC=∠BEC，再通过角的计算即可算出∠AEB的度数.

解：①∵∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°，∴∠ACB=∠DCE=180°-2×50°=80°.∵∠ACB=∠ACD+∠DCB，∠DCE=∠DCB+∠BCE，∴∠ACD=∠BCE.∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，∴AC=BC，DC=EC.在△ACD和△BCE中，有AC =BC，∠ACD=∠BCE，DC=EC，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE.

②∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC=∠BEC.∵点A、D、E在同一条直线上，且∠CDE=50°，∴∠ADC=180°-∠CDE=130°，∴∠BEC=130°.∵∠BEC=∠CED+∠AEB，且∠CED=50°，∴∠AEB =∠BEC-∠CED=130°-50°=80°.

【变式】如图4，若△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE.（1）求证：AD=BE；（2）若AD=CD，求∠ABE的度数，此时CD与BE有什么关系？

图4

【变式答案】

一、（1）AE=3；（2）∠B=60°，AB∥DE.

二、（1）△ABC的面积为4；（2）作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B与x轴的交点为点P；（3）AB为腰，点A为顶点，这样的点D有5个；AB为腰，点B为顶点，这样的点D也有5个；AB为底，这样的点D有2个，所以符合条件的点D共有12个.

三、（1）证△ACD≌△BCE，可得AD=BE，（2）∠ABE=90°，CD∥BE且CD=BE.

（作者单位：江苏省无锡市旺庄中学）