换元法在高中数学中的“魔法”应用

江芳英（武平县第二中学，福建武平364300）

换元法在高中数学中的“魔法”应用

江芳英
（武平县第二中学，福建武平364300）

高中数学在教学中，以具体实例向学生介绍常见的整体换元、对称换元、数字换元、均值换元、三角换元等方法，促进学生使用换元法解决数学问题的思维水平。

整体换元；对称换元；数字换元；均值换元；三角换元

换元法是一种重要的数学方法，能够让复杂问题简单化，让生疏问题熟悉化。

解题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化的方法叫换元法。常见的换元法有整体换元、对称换元、数字换元、均值换元、三角替换等等。换元法在数学各分支具有广泛的应用，列举如下：

一、在求函数解析式中的应用

出现形如f［g（x）］=h（x）的问题中，常用整体换元。

二、在化简代数式中的应用

即x3+3x-4=0，

此方程的唯一实根是1，故化简结果为1。

三、在解方程中的应用

例3.解方程：x3+18x2+81x+8=0。

分析：这是三次方程，经仔细观察，若把9看成新的未知数，就可转化为一元二次方程了.令9=t，得

xt2+（2x2+1）t+x3-1=0，

接下来，把t用数字换回，就可进一步解出x了。

四、在求条件值域中的应用

例4.已知x2-y2=4，求的取值范围。

分析：利用三角替换，令x=2secθ，y=2tanθ（θ∈［0，

∴w∈（-6，10）。

常见三角替换有：已知a2+b2=1，令a=cosθ，b=sinθ，

已知|x|≤1，令x=cosθ，

已知|x|＞1，令x=secθ，

已知x∈R，令x=tanθ。（注意各参变量角度的范围）

五、在三角函数中的应用

例5.求W=sin3θ+cos3θ+sinθcosθ+sinθ+cosθ的取值范围。

分析：考虑到sinθ+cosθ和sinθcosθ的关系，可令

∴Wmin=f（-1）=-2。

本例通过换元法，把比较复杂的三角函数问题转化为三次函数的值域，达到用导数解决问题的目的。

六、在数列中的应用

数列中的换元法，往往和构造新数列联系在一起，其意图大都是把一般数列转化成等差（比）数列。

例6.设b＞0，数列｛an｝满足a1=b，

（1）求数列｛an｝的通项公式；

分析：①因为a1=b＞0，由已知得：

∴｛bn｝是一个首项为的等差数列，易得an=2，

∴｛bn｝是一个首项为的等比数列，

②根据（1）的结论，用分析法和综合法（均值不等式）易证，从略。

七、在不等式中的应用

在不等式的问题中，换元法也有很普遍的应用。如已知a+b=1，比较的大小，可作均值换元，

例7.正数a、b、c适合a2+b2+c2=1，求证：

设a3+b3+c3=A，由1=a2+b2+c2，得

即a3+b3+c3。

本题用换元法容易从个数和指数方面加以推广：

关于其它方面的问题，换元法还广泛应用于微积分中，如一些导数公式的推导，不定积分的求法等等。因篇幅所限，不再讨论。通过上面事例，可发现换元法有如下特征：①从书写的角度看，解题中用到换元法时，最后要还原成原来变量；②新、旧变量的取值范围及其关系，常是关注的焦点；③换元的一致性，即换元必须干净、彻底；④换元法绝不是简单的“无中生有”，它需要较强的观察力。只有具备了“大局观”，并能妥善处理整体与局部的关系，才能更好地使用换元法。

［1］卢正勇.数学解题思路［M］.福州：福建教育出版社，1986.

［2］王钦敏.如何对数学教材进行有益的拓展与改造［J］.数学通报，2013（1）.

［3］龙岩市普通教育教学研究室.2015届高三数学总复习指导意见［Z］.2014.

（责任编辑：王钦敏）