高中数学思维指导下的解题技巧

☉江苏省常熟市中学　张静芬

高中数学思维指导下的解题技巧

☉江苏省常熟市中学张静芬

高中阶段数学学科依然占据主要地位，数学考试也是备受学生和家长关注.试卷中各种数学题型变幻莫测，各方面知识点考查齐全，经常让学生应接不暇.课下有学生反映考试时数学卷做不完、检查没时间，手慢脚乱忙了一阵，成绩也不理想，这让很多学生和家长感到苦恼，要想改善这种状况其实诀窍就在于能否熟练地掌握解题技巧.解题技巧不是孤立的，要在一定的数学思维指导下，这样学生才能掌握数学的精髓，无论题型如何变幻，都能应对自如.

班里经常有这样的孩子，平时非常用功，抓紧每一分每一秒学习，甚至吃饭的时候都是一边端着碗一边看着书，尽管如此，学习效果却不是很理想，为此他们非常苦恼.其实高效的学习不应该是一味、单纯地挖知识，一定要有科学、合理的思想来指导.知识是肉身，思想是灵魂，它们相辅相成缺一不可，没有知识的思想只是一具空壳，没有思想的知识也只是行尸走肉，只有知识和思想相结合才是真正的学习.高中数学一直是学生们望而生畏的一门课程，很多学生苦苦专研，也找不到解题的要领，所以，教师要教会学生站在思想的高度掌握解题技巧.

一、发散性思维指导下的图解法

学习数学避免不了要应用到图形，它是解决数学难题不可或缺的一种辅助手段，图形一出现很多已知条件跃然图中，很容易找到解题的突破口.但是，找到突破口也要带着目的性、选择性，不能全部拿来，眉毛胡子一把抓.要求学生要具有发散思维，化抽象为具体，化复杂为简单，以不变对万变.先综合所有已知条件思考整个问题，在把握大局的前提下分清主次，接下来抓住主要的特征，从主要的思维角度入手，一步一步达到解决问题的目的.

分析：此题中不等式的两边都是基本函数，左边是指数函数，右边是对数函数，充分利用此特征，作出两个函数图像，利用图解法能更好解决此题.在高中数学中，利用图解法，可以比较函数值的大小，确定参数范围，也能利用图像解决一些方程的解和零点问题等.

因为logax>4x>1，所以0

令f（x）=4x，g（x）=logax，如图1，当

图1　

又因为g（x）=logax，x0∈（0，1），a1，a2∈（0，1）且a1loga1x0，

图解法有图形，有数字，有已知条件，有相关结论.一个图形，多个数量关系，把它们紧密地结合在一起，先分解，后整合，也是对学生发散性思维的一种锻炼.这种方法的应用范围很广，高中数学的学习过程中会经常用到，有时只在草纸上操作，简单易行.我们要学会掌握这种方法的精髓，而不是只了解简单的皮毛，争取把它内化为自己的一种本领.本领在手，不光是数学学科可以用，其他学科也能用得到，乃至以后遇到其他事情也可以用到这种思维方式..

二、创造性思维指导下的变量代换

高中数学有很多题涉及到函数、导数，对学生来说个个都是难关，非常苦恼.变量代换法既能解决这些难题，又便于学生掌握，教学中值得传授.变量代换，简单地说就是引入一个变量，运用相关知识予以技巧性的变化来替换已知条件中的某些定量，得到新的变量，接下来再展开对新变量的研究，把研究结果代入原式得出我们要的结论.这种替换可以连接已知和未知，相当于借助中介的力量转化原问题的难度，达到简化的目的.这种方法如果用的恰到好处，可以收到事半功倍的效果.

例2不等式x+y≤k（2x+y）对任意正实数x、y恒成立，求k的取值范围.

分析：这道题中涉及到两个变量和一个参数，这样会使学生有点手足无措.如果能将两个变量转化为一个变量，这样会使得题目更容易解决.所以解题时需先引入一个新的变量，变量的介入让不等式改变了原形，再对变形后的新变量进行讨论.此题先把两端分别除以y变量，即可得到，这样由原来的x、y两个变量变为，然后进行变量分离，可得，因为2t+1>1，所以1，最后可得k≥1，则k的取值范围为［1， +∞）.

另外还有很多类似的题目都可以采用此方法来解决.例如：已知不等式x2+y2≥k·2xy对任意正实数x、y恒成立，求k的取值范围.此题可以两边同除以2xy，可得k≤再利用基本不等式可得k≤1.

三、逻辑性思维指导下的观察法

提到观察法很多学生会认为这是物理和化学学科常用的方法，数学就应该是计算，其实不然，数学学科有很多问题通过观察也能找到我们想要的答案.当然这里说的观察不是漫无目的地瞅来瞅去，而是带着寻找答案的目的，发动我们的感官去观察.另外，这里说的观察也不是只抓问题的一部分，而是要从整体上把握问题的脉络.所以，细说起来，观察法运用的过程中心要细，眼要尖，这样才能寻找突破口，抓住关键，厘清解题思路，做了这些铺垫什么问题都不难了.

本题就是通过直接观察获取答案的典型例题，适合一类函数值域的求法，一目了然.当然在实际做题过程中很多习题难度要比这个多很多，但是解题思路都是一样的.主要是通过此种方法培养学生的观察能力，它是一名优秀的学生应该具备的基本素质.无论是学习还是生活具备观察能力都是孩子们具有一项生存技能.善于观察才能发现事物的前因和后果，才能分辨出事情的真实和虚伪，才能发现解决问题的方案和技巧，最后才能做学习的强者.

四、逆向思维指导下的反证法

在数学领域思考问题，我们习惯于逻辑推理，从已知推出结论.但在做题的过程中常常会遇到从正面证明有困难，或者情况比较多挺复杂，而反面只有一种情况，相对简单，这时可以考虑用反证法.所谓反证，就是从反面入手去证明，打破了常规的思维模式，有另辟蹊径的感觉.一般不等式证明常用它，如果题中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等字眼就具备了用反证法的条件了.反证法思维方式独特，开阔眼界，能够培养学生的逆向思维能力.

例4如果p1p2=2（q1+q2），求证；二次函数y=x2+p1x+ q1和y=x2+p2x+q2的图像至少有一个与x轴相交.

分析：该题如果直奔主题去求解很难，不知道从何处下手，无法断定哪一个函数的图像与x轴相交.那么我们不妨从问题的另一面去考虑，也就是反其道而行之，假设y=x2+p1x+q1和y=x2+p2x+q2的图像都不与x轴相交，便得到两个判别式，再加上p1p2=2（q1+q2）这个已知条件，代入求得，即能判断能否与x轴相交.

证明：假设二次函数y=x2+p1x+q1和y=x2+p2x+q2的图像都不与x轴相交，则有

又因为p1p2=2（q1+q2），

所以2p1p2=4（q1+q2），

通过上题的分析让我们找一找反证法的适用条件.此题已知条件较少，就只有p1p2=2（q1+q2）一个，而且它和问题之间关系不是很直接，再加上问题“y=x2+p1x+q1和y= x2+p2x+q2的图像至少有一个与x轴相交”相对来讲很抽象，不具体.而其反面结论恰恰相反，不但具体，还容易入手，这种情况最适合运用反证法，这是一种逆向思维方式，打破常规，实际做题过程中多加训练就很容易掌握.

数学思维的有效培养可以形成数学素养，数学方法的掌握可以提升学生解题效率.数学思维方式不是与生俱来的，是在不断的学习知识，掌握和运用方法的基础上形成的，数学解题方法也不是一学就会的，是在数学思维的指导下，不断的实践和训练慢慢掌握的.所以，要想在数学上得高分就必须开拓思维，认真研究，多方面挖掘，总结和掌握各种解题技巧，技巧熟练，运用自如，才能及时答疑解惑，拓展思路，发展智力.

1.曾定.浅谈高中数学解题反思［J］.高中数学教与学，2013（12）.

2.曾庆珊.高中数学四种解题教学模式的教学实践研究［D］.长沙：湖南师范大学，2014.

3.谈敏.逆向思维在高中数学解题中的一些应用［J］.语数外学习（数学教育），2013（12）.