关于数学美及其常规教学问题的再思考

王喜清

【摘 要】数学美是主观和客观的统一，数学美不仅表现在数学外在形式上，更广泛蕴含在数学内在规律中。从数学美的普遍性意义出发，在常规教学中，透过外在形式，揭示数学内在美的规律，以此启迪学生思维，是目前数学教学中激发学生有效学习的一个突破口。

【关键词】数学美 内在规律美 常规教学

王永春教授所著的《小学数学与数学思想方法》一书研读活动中，笔者以梯形面积教学为例谈到了“常规教学中，从数学美的普遍性意义出发，用数学美启迪学生思维”的话题。一些教师颇感兴趣，随之也出现不同观点之间的碰撞，有些人质疑数学内在规律美的客观性、普遍意义和数学常规教学中数学美的广泛性价值。作为回应和研究，本人再谈几个相关的话题，供数学教育教学同行们研讨。

一、数学美的主观性和客观性、个性和共性

在美学发展史上，对美的认识，存在“主观”“客观”观点之争。美学发展至今，关于美的观点，大多认为是客观性和主观性的结合。我国美学家李泽厚、美学专家滕守尧、数学界以及数学教育界的徐利治、徐本顺、殷启正、吴振奎、张廷楚等，都辩证地从美的主观和客观结合的角度看待美。比如，李哲厚、蒋孔阳等根据马克思的观点，都认为自然美的本质是“自然的人化”。 李泽厚在《美学论集》 第173页中指出：像飘渺的银河、粗粝的礁石、喷发的火山、漂流的冰山……都是人化了的自然，是人的精神的无机界，可以成为自然美而引起人的美感。众所周知，数学中充满了辩证法，辩证思考数学美的主观性和客观性，更符合数学的本质。徐本顺和殷启正认为：科学美的形式是物质的。人们所观察的客观的现象和规律是美的附体，人们去观赏它时，如果它是宜人的，那么个人的主观想象，在品味、体验中得到观赏的满足，产生愉悦，往往美感就产生了。看到滚滚的麦浪，联想到这是劳动人民创造的结晶，会产生美感，这正是美的主观和客观的融合结果。

你看到客观的朝霞、彩虹、孔雀、黄山，你一定会说它们是美的；而你看到一堆臭狗屎，你肯定有厌恶感的。这些都反映了美的客观性。如果没有像“美的环境、美的行为、美的语言”等客观的存在，如果审美对象在客观上不存在美的因素，美就成了无源之水，美的行为也就没有了准则。如果没有一个个体现对称、整齐、简洁、和谐、数学内在规律等数学美的对象为附体，我们学生的数学美感从何而来？美是主观和客观的统一，人们往往是在对客观现象的比较中发现美的。

王永春教授指出：对数学美的认识就是能够认识或感受数学内容、结构和数学思想方法等方面的美，是对数学外在形式的美好感受和内在本质的理性欣赏。这段话体现了数学美的主观性和客观性的统一，同时也点出了数学美的层次，是我们数学教学中要牢记的理念。数学美是一种人的本质力量通过宜人的数学思维结构的呈现。

当然我们不能否认美的主观性。一件衣服，你看是美的，可她看却不美。主观性是发现客观美的心理基础。不承认美的主观性，也就无法发现客观的美。由于美是主观和客观的结合，所以人们对美的认识有时是相对稳定的。唐代人以“胖”为美，一些浪漫群体以穿衣服“奇异开放”为美，少数民族穿衣服有各自的喜好，儿童大多喜欢看鲜艳的色彩……我们的数学教学，要在学生群体中抓住美的主观和客观关系的稳定性，以客观的数学形式适时点燃一些学生群体心中的数学美，让学生解完题后产生美的滋味，我国数学美专家徐本顺强调了这一点。

美感是存在因人而异的，这是个性，这是美的主观性的体现。没有美的主观性和对美的认识的个性，大自然的美就不能被具体人所认识。但对美的认识也有共性：一幅美丽的画，会引起众多人的美感，一幅由几何图形构成的图案，往往会引起几乎全班学生的美感，这体现了美的共性，也体现了美的客观性。当然，“知识无论如何讲，某学生也不感到美”，这个现象存在，但不是普遍现象。不承认美的共性，我们就无法在班级用数学美启迪全体学生；不承认思维的共性，我们就无法面对全体学生讲课，我国的班级授课制就得取消，这是不现实的。

二、探究常规教学中的数学美值得思考

徐本顺和殷启正认为：人们大多数认为自然美、社会美和艺术美是美的三种基本内容。然而在人类实践活动中还有一种美尚未引起人们的重视，这就是科学美。自然规律展示的简单性、完整性和秩序关系、灵感突发时引起的冲动，这些引起的愉快含审美愉快。这些科学美的形式反映了物质运动所形成的规律性的东西。

英国美学家夏夫兹博里认为，“趣味”是人的本性中天然存在的一种专门欣赏美的器官，可见数学兴趣与数学美的紧密联系。数学外在的形式以及不被人们注意的内在规律引起的学习情趣、灵感、顿悟等都含大量的美感因素。徐本顺、殷启正指出，欧几里德是以数学美作为发展的动力的伟大先驱。可见数学美的普遍意义。

关于数学美，王永春教授强调了“数学外在形式的美好感受、内在本质的理性欣赏和数学思想”。这里的“内在本质”就包含了“数学内在规律”。

事实上，客观世界的一些内在规律美比较隐藏，因而往往不会被人发现，正如梯形内涵的美不能被一些人发现一样。身体有结构美，但以往大家并不知道。当我们学习黄金分割后，看到人体结构中体现出的0.618，才发现人体结构是这么美。梯形面积公式推导中，似乎不存在什么数学美。但与梯形相联系的长方形体现了美的对称性，与梯形面积推导相联系的平行四边形构成的图案体现了美的奇异性，梯形面积自身与平行四边形面积关系体现了美的统一性。当我们透过平行四边形的外在形式美，而在思考中发现梯形和平行四边形的内在规律，品味运用平行四边形解决梯形面积的类比法等数学思想方法时，梯形面积将与美的形式、美的规律及美的思考融合，美感将会产生。

高斯的自然数和的巧妙计算：（1+100）×100÷2，体现了数学美，而该计算公式和梯形的面积公式有紧密联系S=（a+b）×h÷2，此时，梯形的面积公式恰恰体现了美。在教学中，我们用“5+6+7+8+9+10=（5+10）×6÷2”这个类似高斯的方法启迪学生探讨梯形面积求法，这一类比思考显然体现了数学思想美。以数学美启迪学生思维，核心目标是让学生发现、理解并掌握梯形面积公式，即以美启真（以美启真——罗增儒）。王永春教授指出：数学思想方法有一种内在的、独特的美，从数学知识提炼出思想方法，是一种升华的美。数学思想方法是普遍的，可见，数学美也是普遍的，数学美不仅仅蕴含在一些特殊数学内容中。形式美主要是对形式本身的欣赏结果，此时可能并没感觉到它内涵的美。一些美没通过形式表现出来，而潜藏在人往往意识不到之处，美学家称这种现象为“积淀”（《美学引论》第66页）。一个梯形面积的推导，你若能揭示其中隐藏的美，就能引起学生的美感。不要认为外在形式极其明显的、震惊的美导致的美感才是美感。我们从常规数学教学中去捕捉数学规律和数学思想方法蕴含的美，从以往忽视含“美”的数学载体中引导学生去进行数学美思考，去探讨数学教学，这个无疑具有普遍意义和现实意义。

三、面对具体审美对象，美感的产生要经过的时间

从宏观看，审美心理当然不是短期形成的，要经历长期的审美实践。值得注意的是，儿童从出生后认识世界开始，就不断接触客观世界中的美。如美丽的风景、妈妈和教师穿的美丽的衣服、美丽的图片……这些在潜移默化中感染儿童，久而久之，以潜意识积淀了浅层的审美经验。这些审美经验成为诱发美感的前提。事实上，儿童面对具体场景和对象，有时美感确实需要经历一个较长的时间才产生，而有时却在当时就产生了。在某具体场景中对某一事物产生美感不一定非得都经历漫长的时间，因为这里有以往审美经验的参与。面对审美对象，一旦激活以往积淀的审美经验，不同信息神经元突然联系，美感就会立刻产生。学生看到花，会立刻感到美，脱口说出“花真美”。当你的同事问你“她穿的衣服好不好看”时，难道你会说“等我回家研究一下，体验完后再回答你”？在安徽大学中文系文艺理论教研室编写的《美学引论》中认为，美感是有层次的，美感具有直觉性，即对美不加思索而产生情感反应。爱迪生认为，美立刻在想象里渗透出一种内在的欣喜和满足，不需预先经过考虑。我们不能简单地说“面对所有的审美对象，美感都要经历漫长的时间才产生”。在数学课堂教学中，学生在美的感染下有时即刻产生美感现象，是可信的。

美感有感知阶段、审美经验阶段和审美创造阶段等不同的层次。教学中，学生产生美感的因素不光是教学现场教师的语言，还有以往学习和生活中积淀的审美经验。在梯形面积教学片段的导入中，我们先展示的是用平行四边形组成的图案，这个几乎所有的学生都会说它是美的。这个图案既含形式美，还能和人铺地板的生活意义结合，即将“形式”社会化和人为化了，会激活以往学生积淀的审美经验。以往的审美经验、审美的主观和客观因素与当时的场景融合，我们的学生会不加思索而产生美感，这个是符合现实的。我们推导平行四边形面积时，学生是在前面图案美的感染下思考平行四边形的，抽象的平行四边形与生活结合了，人为化了。梯形剪拼成长方形，会产生对称美，长方形自身蕴含对称美，这成为激发形式美美感的前提。加上教师的点拨，学生回忆以往就有了体验和经验，也会很快发现其中的规律美。

四、以学生审美经验为基础，以数学美为线索进行教学，是一个有效教学方法

与我们教师相比，小学生的审美经验在水平上存在差距，我们不能用成人的审美水平来推断学生。因而在以数学美启发学生思考时梯度不能过陡，对同一思维长度，阶梯要相对加密。当然，我们将启迪思维阶梯加密，不同于嚼碎了喂给学生。嚼碎了再吐给学生，是注入式，而我们是启发式，是一步一步用数学美启迪——以美启真。事实上对于平行四边形和梯形隐藏的数学美，就连一些成人都难发现，对学生若不将启迪的阶梯加密，他们是难以领悟的。

处处以数学美为线索展示知识，是否会把一个主观的、情绪体验的内容作为教学目标？是否会降低学生的学习兴趣？对第一个问题，我们要清楚，任何认知都离不开情感的参与，这是新课程改革提出的一个基本思想。新课程理念反对将情感和认知割裂开而弱化情感效应。美感属于情感，以数学美启迪，无疑会创设出情感和认知融合的情境，使美感成为认知的动力。我们以数学美激发学生思考，最后得到梯形的面积公式，此时的数学美事实是为认知服务的，并不是认知为数学美服务的。对第二个问题，根据感觉的适应性和美感的间歇性，总用一种教学方式教学，会降低学生的学习兴趣。但数学美的形式和内涵是丰富的，同是以数学美启迪，只要你不断更换数学美的形式和内容，学生是不会厌倦的。

以上根据当前学习研讨中对数学美的认识的争鸣谈几点看法。挖掘数学常规教学中的数学美，有可能是一片没被开辟的处女地，但为了数学教学中数学美的普遍意义及发展，我们要在困难中去开辟它。从数学内在规律美的普遍性意义出发，在常规教学中，透过数学美的外在形式，揭示数学内在美的规律，以此启迪学生数学思维，是目前数学教学中激发学生有效学习的一个突破口。

参考文献：

[1] 滕守尧.审美心理描述[M]. 北京：中国社会科学出版社，1985.

[2] 徐本顺，殷启正. 数学中的美学方法[M]. 南京：江苏教育出版社，1990.

[3] 王永春.小学数学与数学思想方法[M]. 上海：华东师大出版社，2014.

（黑龙江省七台河市教育研究院 215004）