高中数学“问题教学”策略的研究

☉天津市第四中学　孟黎辉

高中数学“问题教学”策略的研究

☉天津市第四中学孟黎辉

问题教学法，就是以问题为载体贯穿教学过程，使学生在问题的产生和解决过程中，产生自主学习的动机，进而逐渐养成自主学习的习惯，并在实践中不断优化自主学习的方法，提高自主学习能力的一种教学方法.问题教学法充分体现学生的主体地位，能有效地激发学生自主学习的主动性和积极性.

同时，问题教学法也是指教师在教学过程中以问题为中心，进行创造性教学的方法.知识产生和发展的过程，也就变成学生自主探究知识的“再发现”和“再创造”的过程，进而培养学生的问题意识和科学精神，培养创新意识.

在课堂教学过程中，我遵循着以下五个环节：寻找情景，制造悬念；设置矛盾，产生内需；合作交流，百花齐放；设置阶梯，优选方法；总结规律，迁移升华.

一、寻找情境，制造悬念

心理学研究表明：思维是一种能动的过程，产生这种能动过程的有效环境就是问题情境.寻找与课程相关的背景，引入课题，将学生带入电影般的情节中，制造悬念，引人入胜，是一节好课的良好开端.

比如，用下面的故事引入问题：在古希腊，希希里岛的统治者，开凿了一个岩洞作为监狱.被关押在岩洞里的犯人，不堪忍受这非人的待遇，他们晚上偷偷聚集在岩洞靠里面的一个石头桌旁，小声议论越狱和暴动的方法.可是，他们商量好的计划很快就被看守员知道了，看守官员提前采取了措施，使犯人商量好的计划无法实行.犯人们开始互相猜疑，认为犯人中间一定出了叛徒，但是不管怎么查找，也找不到告密者.他们最终也没搞清楚，这个岩洞可不是随意开凿的，而是请了一位叫刁尼秀斯的官员专门设计的，他设计的岩洞监狱故意采用了椭圆形的结构.

大家想一想：秘密的泄露难道真与这个椭圆形的结构有关？

同学们一个个睁大了眼睛，好奇地等着我的解答.我接着讲，原来，谜底是这样的：石头桌子恰好在椭圆的一个焦点上，看守人员在另一个焦点上.这样，犯人在石桌旁小声议论的声音，通过反射可清楚地传到洞口看守人的耳朵里，后来人们就把这种椭圆形的结构叫做“刁尼秀斯之耳”.

在这种氛围下，我再提出问题：为什么从一个焦点发出的光或声音，经椭圆反射，可以全部聚集到另一个焦点上？（如图1）

接下来，学生们迫不及待地投入讨论，数学建模（建立坐标系，设点，明确研究方向……），一切似乎顺其自然，又引人入胜.

图1

二、设置矛盾，产生内需

在电影院，我们常常会跟随电影情节的跌宕起伏，深陷其中，导演设计的矛盾似乎无法解决，让人感觉悬念丛生、提心吊胆，突然，峰回路转，所有问题一一破解，一颗悬在半空的心终于放下.导演获得了赞誉和票房，观众得到了人生的启迪.在课堂上，教师也同样可以设置矛盾，让学生对问题产生强烈的求知欲，增强教学的艺术性，引导学生不知不觉中踏入科研道路.

比如，在一节指数函数、对数函数复习课中，有同学在课上突然提问：“函数y=ax与y=logax的图像在a>1时是否有交点？”我把这个问题让学生课上讨论.有同学立即提出，上述两个函数互为反函数，图像是否相交，可以先考虑它们的图像与函数y=x图像的关系.我又问：“那么它们能否与函数y=x图像相交呢？”有同学说：“凭直觉，好像交不上.”我启发道：“研究学问不能仅凭直觉，要有依据.”经过仔细思考和热烈讨论，有位同学终于回答：“能，因为函数y=log1.1x的图像过点（1，0）和（1.21，2），点（1，0）在y=x的图像下方，而点（1.21，2）在y=x的图像上方.因而函数y=log1.1x与y=x的图像有交点.”回答得非常好！我又问：“那么，有没有交点由什么决定的呢？”同学们一起答道：“由a的大小决定.”接着我用计算机演示y= ax与y=logax（a>0且a≠1）的图像，让同学输入不同的a值，出现了三种情况（如图2，3，4所示）.

图2

图3

图4

现在的教学媒体为问题教学法提供了前所未有的便利，教师如能很好地运用，势必会给教学增色不少.教师合理地利用课堂提问，带给学生悬念，激发学生的探索精神，是问题教学的必不可少的环节.

三、合作交流，百花齐放

问题教学中，问题的设计、提出非常重要，但是教师引导学生共同思考、合作交流、解决问题，才是教学的重心.

在讲等比数列前n项和公式时，教师可通过国际象棋的故事引出求和问题.

师：等比数列的特点是：第n项an乘以公比q，就可以变成第n+1项，是否可以利用这个性质求出S64？

生甲：S64=1+2+4+8+…+262+263，①

两边同乘以公比2，2S64=2+4+8+16+…+263+264.②

②-①，S64=264-1.

师：非常好！还有别的方法吗？

生乙：S64=1+2+4+8+…+262+263，①

生丙：S64=1+2+4+8+…+262+263

⇒S64=1+2（1+2+4…+261+262）

⇒S64=1+2（S64-263）⇒S64=264-1.

生丁：S64=1+2+4+8+…+262+263，

等式两边同加1：1+S64=（1+1）+2+4+…+263

=（2+2）+4+…+263=（4+4）…+263=264，

∴S64=264-1.

我只准备了等式两边同乘以2的方法，同学们又想出了两边同乘以、加1、甚至右边变形的方法，使我应接不暇.

师启发：太好了！那么上述方法哪些可以用来推导等比数列前n项和公式：Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an？

生：第1、2、3种方法可以推广，但是方法4不适用于一般情况.

师：很好！下面我们一起推导.

方法一：Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an，①

乘以公比q，qSn=a2+a3+…+an-1+an+qan.②

①-②，（1-q）Sn=a1-qan，

当q=1时，Sn=na1.

方法三：Sn=a1+（a2+a3+…+an-1+an）

⇒Sn=a1+q（a1+a2+…+an-2+an-1）

⇒Sn=a1+q（Sn-an）⇒Sn=

当q=1时，Sn=na1.

当q=1时，Sn=na1.

师（总结）：今天大家的表现非常出色，找出了很多书本上没有的方法，但一定要记住第一种方法非常重要，这种方法叫做“错位相减法”.

这一节课表面看上去很散，但是从头到尾，所有的方法都是围绕着等比数列的特点进行，学生思维活跃，想法五花八门，无疑像一场数学思想的盛会，在巩固数列知识的同时，也培养了学生的创造力和想象力.

四、设置阶梯，优选方法

问题教学中，有时提出的问题较深，同学不能一步到位，这时，教师可以先设置几个台阶，将难题分解，让学生一步步思考、提升，不知不觉中将问题解决.

比如，在《求轨迹方程》一课中，我设计了以下几个递进问题，让学生一点点体会问题的实质，将知识结构一步步优化.

习题1动点P到定点（-2，0）的距离与到定点（2，0）距离之差的绝对值为2，则P点的轨迹方程是_________.（让学生掌握定义法求轨迹）

设计问题：此题把“绝对值”三字去掉，结果会怎样？（双曲线的一支）

变式问题：将“距离之差的绝对值为2”改为“距离之差的绝对值为4”，结果会怎样？（两条射线）

习题2动点P到定点A（-1，0），B（1，0）的距离之比为，则P点的轨迹方程是_________．（鼓励学生用直接法寻求答案）

变式问题：动点P到定点A（-1，0），B（1，0）的距离之比为1，则P点的轨迹方程是_________．

反思问题：此题运用的是什么方法？需要哪些步骤？（直接法：①建系、设点；②写出条件；③坐标代入并化简；④检验）

习题3函数y=x2-2mx+m（m∈R）的图像的顶点轨迹方程是________．（消参法）

反思问题：此题运用的是什么方法？需要哪些步骤？（消参法：变量x、y之间的直接关系难寻求，可适当选择参数，由此表示参数方程，然后消去参数为普通方程）

（A）直线（B）抛物线（C）双曲线（D）椭圆

这三个变式将课堂的讨论推向高潮，同学们讨论得非常投入，有些同学甚至争论了起来.

在此设计这道题目的不仅是加强学生对定义法的理解运用，更是要培养学生思维的严谨性，和合作交流的习惯、沟通能力.

五、总结规律，迁移升华

这是问题教学的最后一个环节，但也是画龙点睛之处，这个环节对学生能力提出更大的挑战，也是使学生受益最大的环节.

在讲授双曲线一节课后，为了让学生更牢固地掌握双曲线的定义和性质，我大胆地设计了一个冒险的问题：函数y=的图像是不是双曲线？这个问题的提出，

建立在我对学生有相当强的创造力和计算力的自信心的基础上，但是，对这节课的效果，我始终带着担心而又期盼的复杂心情.

生：初中老师就称反比例函数图像为双曲线，当然是了.

师：那它一定也符合双曲线的定义，即平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线．

能不能给予科学的证明？

学生们陷入了沉默……

图5

我发现，并没有几位同学开始动笔操作，这就是说，学生们无从下笔，我只有将问题进一步具体化.

师：要想证明这个问题，就先要将双曲线定义中的元素一一找出来.

生：那就是要先确定哪两个点是焦点，以及a，b，c的值.

师：非常好！

学生们开始动笔，一部分同学开始建立坐标系（如图5）.一会，有学生取得了突破，我请他与大家交流.

一会功夫，以计算能力出众著称的某位同学便在黑板上留下了精彩答案：

所以||PF1|-|PF2||=2

同学们带着成功的喜悦，见证了一个“奇迹”，验证了一个普通的常识，在双曲线知识得以升华的同时，更收获了探索真理的循序渐进的方法.

问题教学，就是一切以“问题”为载体，以学生为中心，让学生参与知识的构建过程，体验知识的生成过程，体验学习过程的苦与乐.教师只有在教学中不断搜集素材，寻找好的抓手——问题，不断提高自己驾驭问题的能力，才能使问题教学不断深入课堂，走进学生的思维体系，发挥出意想不到的效果.