从“两个数相除”到“生活中的比”

【摘 要】透过“比的意义”教学中存在的问题，可以进一步发现“两个数相除又叫两个数的比”这一定义的不合理性。从对这一概念发生发展过程的细致考察，可以澄清它的内涵和外延，在教学上可以从“生活中的比”入手，让学生亲身经历概念的发生过程，进而更好地把握概念本质的教学过程。

【关键词】比的意义 配方 生活中的比

近年来，张奠宙先生发表了一系列关于小学数学教学的研究论文，先生希望一线小学数学教师对他的论点作出回应之心拳拳。笔者读到张先生发表于《教学月刊·小学版》（数学）2015年第3期上的《返璞归真 正本清源——“比”不能等同于除法》一文，不由回忆起多年前修订原《现代小学数学》教材（即现浙教版新思维小学《数学》教材）的情境，其时也试图通过研究回答这样的问题：“两个数相除又叫两个数的比”的定义究竟是否合理？数学为什么要引入“比”这一概念？等等。并以此为教材编写和教学研究提供依据。研究得到了与张先生类似的结果，相对而言，我们的研究更多源于教学实践中发现的问题，到达彼岸的过程也要艰难曲折得多。

在传统“比的意义”的教学中，我们总觉得有一些不尽如人意的地方。教学通常都是这样进行的：

【案例一】比的意义

1.教学两个同类量的比。

呈现学习材料：某班有男生25人，女生20人。

师：要表示男生和女生之间的关系，可以求男生是女生的几倍？女生是男生的几分之几？

列式计算后，教师说明比较两个数量，还有一种表示方法：男生和女生的人数比是25比20，或女生和男生的人数比是20比25。

这样，以前所学的“几倍”和“几分之几”就可以用“比”统一地加以表示。

2.教学两个不同类量的比。

呈现学习材料：一辆汽车3小时行驶120千米。

师：路程和时间的关系可以用速度（每小时行多少千米）来表示。

列式计算后，教师说明还可以用“路程和时间的比是120比3”表示路程和时间的关系。

3.给出比的定义。

教师先着重说明上面例子都通过两个数相除来表示两个数量间的关系，都可以用比来表示，在此基础上概括出比的意义——两个数相除又叫作两个数的比。

教师引导学生比较比与除法的区别，说明除法是一种求两个数相除的商的运算，而比则是表示两者之间的相除关系。

4.教学比的各部分名称和求比值的方法。

5.提供正例和反例（如球赛中的比分）进一步加深对概念的理解。

综观整个教学过程，教师提供信息、发出指令、解释意义，学生读取信息、回应教师、建构理解，在高效传授知识的同时，学生被置于被动应答的状态，缺乏积极参与、主动探索的热情。我们不禁要问：这样的意义接受学习，学生真的感受到学习的“意义”了吗？

答案显然是否定的。那么，学习“比的意义”的意义究竟何在呢？我们觉得关键是要弄清下列问题：（1）为什么要学习“比”？——既然两个数相除又叫作两个数的比，我们已经有了两个数相除，又何必再去学“比”呢？如果说是为今后学习物理、化学等学科知识之所需，那就把这些学科中“比”的说法改成“相除”的说法也就是了，何苦惹这个麻烦呢？（2）从现在的定义出发，如何解释比与除法的区别？——前者表示一种关系，而后者是运算（事实上，“关系”的内涵比“运算”来得更丰富）。既然两个数相除又叫两个数的比，比表示的当然也就是两个数相除，因此，比和除法是同一回事，哪来区别可言？而在实际教学中，又必须强调比与除法的区别，否则，就无法把化简比与求比值区别开来——比化简后还是一个比，仍然表示两个数之间的关系，而用除法求比值求得的是一个数值。既然无法从定义解释两者的区别，教师的教学就只能是灌输填鸭了。（3）“按比例分配”中的“比”是“比”吗？——如男、女职工人数的比是5∶4。容易理解在职工总人数中，男职工占5份，女职工占4份（其中隐含着这5份、4份中的每一份都相等的前提），如果根据比的意义，将题中的5∶4 看成“两个数相除”，反而令人费解，这合理吗？[1]

进一步的研究得到了与张先生类似的观点，谨摘要如下：（1）“比”是一种关系。“比”不是除法运算，只是在求比值时才要用除法。（2）“比”是为比例做准备，并可以扩展为一种变量之间的正比例函数关系。这种比例关系，其含义远超“除法”。（3）“比”原本是同类量的比较关系，但是也可以推广到不是同类量的情形。不过，同类量之比是“源”，不同类量之比只是“流”。（4）不同类量的比，不宜作为“比”的主要情境引入。[2]

张先生关于“源”“流”的说法就是我们当时所理解的“狭义的比”和“广义的比”（引自《简明数学辞典》等），我们认识到比的概念经历了从“狭义”到“广义”的发展过程，鉴于这一概念的丰富内涵，我们进一步认识到如案例一这样采用直接告知的办法可能不是一个明智的教学选择，让学生充分经历概念的发生发展过程，可能更有利于学生把握概念的本质。与张先生提出的关于教材设计“四段”论类似（其核心是体现概念发展的“源”“流”两阶段）——第一段“比较”，突出“比”源于两个同类量的比较，比较分“差比”和“倍比”，今天要学的“比”与“倍比”有关；第二段比的定义，通过实例给出“比”的定义：“两个同类量a、b，若以a是b的倍数来比较它们的大小，称为a比b，记为a：b。数a÷b=k称为a与b的比值。比值k就是a除以b的商。”第三段比的练习，通过练习不断强调“比”的意义，突出“除法”之外的特定内涵；第四段不同类量之比，通过实例扩展定义内涵“两个不同类量a、b，虽然彼此没有倍数关系，如果以b为单位衡量a，即考察a÷b，我们也把它叫作a比b，记为a：b。”[3]我们编写了用两课时教学“比的意义”的教材：第一课时——教学狭义的比，建立比与几倍、几分之几之间的联系，突出比 “表示两个数之间的一种关系” 的这一特点，这实际上是把张先生的第一段和第二段交换了位置，又融合了第三段。第二课时——教学广义的比，借助比与分数的关系，建立比与除法之间的联系并给出比的定义。不同于张先生明确给出两个阶段的比的定义，我们在比的定义上作了相对模糊的处理（张先生给出的定义对学生而言可能过于抽象了），把重点放在学生通过活动对概念的感悟上。

根据教材，就有了这样的教学：

【案例二】生活中的比

1.利用教材，呈现结构性学习材料，在不同的情境中解释1∶4的意义。

学生读信息，了解比的读法。根据图意，从份数（如桌子数量1份、椅子数量4份）、倍数或分数（如新生儿头长是身高的）、具体数量（如1吨棉配4吨麻，2吨棉配8吨麻……）等方面来解释1∶4的意思，体会当两个数量变化时，比可以表示两者间不变的关系。

2.迁移应用，丰富概念例证。

3.概括出“比可以表示两个数之间的关系”这一结论。介绍比的分数表示以及前项、后项、比号等名称。

4.突出两个方面的练习：一是做几倍、几分之几与比之间的转换练习；二是做比用以表示两个变量之间不变关系的练习。

相对于案例一，案例二很好地突出了比与除法的区别。通过呈现结构性学习材料，提出富有挑战性的“1∶4表示什么意思”这一问题，放手让学生通过图文之间的关系解读1∶4的意义，体会比表示两个变量之间不变关系的直观便捷性，突出了比与分数、除法之间的区别，也改变了案例一中学生被动应答的局面，形成了主动探索的氛围，这也是我们为什么把张先生建议中的第一、二段交换位置的原因。通过教学试图让学生在意义解读活动中感悟比的意义——当两个数量变化时，比可以表示两者之间不变的关系。这种关系用比较数学化的方式来表述即是：存在两个数量（变量）X、Y，当X取值为a时，Y有唯一的值b与之对应，当X取ka时，Y有唯一的值kb与之对应，我们把X、Y之间的这种关系称为比，用a∶b表示。这是一个相对函数化了的定义，从中我们可以自然地引出比的基本性质，方便地认识正比例关系，较好地兼顾“狭义的比”与“广义的比”的定义需求——不必像张先生这样先后给出两个比的定义。但在教材中没有给出这样的定义，而是比较模糊地给出了“两个数的比可以表示为两个数相除的形式，两个数相除也可以表示为两个数的比”，作出这样的处理一方面是因为抽象的数学语言本身可能会造成学生理解上的困难，另一方面也是为了避免教师过于关注定义的抽象语言教学反而影响了通过活动引导学生感悟概念本质。当然，比的概念如何定义？如何给出定义？给到什么程度？仍是一个非常值得研究的课题。

应该看到，案例二的教学把比作为一种已经存在的人类文化直接呈现在学生面前，并没有直面“比”的起源，也就事实上回避了“为什么要学习比”这一问题，那么，如何解决这一问题呢？

从数学史料来看，西方数学中“比”的概念的起源是与测量紧密联系在一起的，古希腊数学家认为，任意给出两条线段，必能找到用以度量这两条线段并得到整数结果的第三条线段，因此，这两条线段之间的长度关系必定可以表示为两个整数之比。我们看到，这样给出的“比”的概念事实上已经处于较高的抽象水平了。与此不同，我国古代数学中“比”的概念还蕴含在具体问题中，带有概念原创时期的特征，如先秦古籍《考工记》中就记载了许多青铜器铸造的配方，有配方就需要用比例计算。何不从现实生活中的“配方”问题入手，让学生亲身经历概念的发生过程，从而更深刻地体会学习的必要性呢？于是我们设计概念的发生发展路线为：配方中的比→建立比与分数的关系→建立比与除法的关系。

【案例三】生活中的比

1.经历配比活动，探索共变规律。

教师通过谈话引入配制饮料活动：学生用苹果汁和蜜糖水配制混合饮料，从三款中选择一款口味较好的推荐给大家。

反馈时教师选择“苹果汁60毫升、蜜糖水20毫升”的一款展开研究，探索口味不变、数量变化时苹果汁和蜜糖水数量的共变规律，学生用翻倍、减半等方法解释口味不变的原因。

2.探索配方的多种表示方法，掌握用比表示配方的方法和条件。

学生用已有知识表示配方，如苹果汁量是蜜糖水量的3倍，蜜糖水量是苹果汁量的，苹果汁量占总量的，蜜糖水量占总量的。进而，学生根据生活中见过的配方，给出新的表示方法：苹果汁与蜜糖水的数量比是3比1或蜜糖水与苹果汁的数量比是1比3，表示苹果汁3份，配蜜糖水1份，并举例说明，如苹果汁150毫升——3份，每份50毫升，蜜糖水1份——50毫升。体会用比表示配方的直观便捷性。

3.介绍比的表示方法与各部分名称。请学生用比来表示他们配的三款饮料的配方。

4.迁移应用，用多种方法解释比所表示的意思。

呈现材料（见案例二中三个1∶4的例子），学生从多种角度解释比的意思。教学中进一步渗透函数思想，体会值域和定义域。

5.解决问题，联系实际。

6.进一步的拓展。

如火药是中国古代四大发明之一，是我国人民对人类文明的伟大贡献。配制黑色火药的原料是火硝、硫黄和木炭，它们的质量比是15∶2∶3。15∶2∶3表示什么意思？等等。

案例三的教学力图把数学本身的发生发展动力转化为学生的学习动力，通过让学生亲历“比”的“再创造”过程，较好地解决了“为什么要学习比”这一问题。基于“再创造”的教学有利于提高学生课堂学习的质量，通过在配方活动中嵌入学生的生活经验和个人喜好——根据口味选择和调整配方，赋予学习以丰富的情感体验和个人意义。基于“再创造”的教学突出了知识的现实性、应用性和整体性，体现了活动的实践性、探索性和综合性，通过师生共同演绎创造者的思维过程，学习创造者的思维方法，让学生在活动中学会创造，在实践中锻炼成长。

参考文献：

[1]任敏龙.比的意义教学研究[J].小学青年教师（数学版），2006（10）.

[2][3]张奠宙. 返璞归真 正本清源——“比”不能等同于除法[J].教学月刊·小学版（数学），2015（3）.

（浙江省杭州市上城区教育学院 310000）