末端带载荷的单连杆机械臂振动模态分析

安凯，毕雁，马佳光

(1.山东航天电子技术研究所，山东烟台264670；2.烟台职业学院，山东烟台264003；3.中国科学院光电技术研究所，成都610209)

末端带载荷的单连杆机械臂振动模态分析

安凯1，毕雁2，马佳光3

(1.山东航天电子技术研究所，山东烟台264670；2.烟台职业学院，山东烟台264003；3.中国科学院光电技术研究所，成都610209)

为研究末端带载荷的单连杆机械臂振动模态问题，首先利用材料力学方法，给出了末端带载荷的单连杆机械臂以积分方程表示的弯矩，然后将该积分方程转化成形式上与Euler-Bernoulli方程相同，但边界条件不同的偏微分方程。通过解微分方程组确定了振型函数。给出了末端带载荷的单连杆机械臂振动固有频率满足的方程，提出了计算固有频率的迭代方法，同时也给出了计算固有频率的近似公式。与固有频率精确值的对比结果说明，除第一个外，其余固有频率的近似值与精确值的误差不超过10-4，且随着频率序数的增加，近似值与精确值的误差趋于零。

末端；弯矩；振型函数；固有频率

0 引言

目前空间机械臂已广泛应用于各类航天器。为了提高机械臂的操作灵活性，并减轻机构质量、降低能源消耗，许多机械臂都采用柔性轻质结构，如安装在航天器上的细长机械臂，空间站的大型可展开天线[1]等。但相对于传统的刚性机械臂，由于柔性机械臂刚度小、质量轻、内阻尼小、结构细长，极易产生长期

持续变形与振动，如果不采取有效措施对其振动进行控制，将影响其正常工作[2-3]。

机械臂振动控制的关键问题在于了解其振动特性[4-5]。因此，利用模态分析方法确定机械臂结构的振动特性成为柔性机械臂振动控制的一个重要的研究课题[6-7]。但目前通用的模态分析方法的模态函数是通过Euler-Bernoulli方程获得的，只能解决匀质连杆的模态分析问题[8-9]，而不能用于末端带载荷的机械臂振动模态分析。因此，将匀质连杆的振动模态函数作为末端带载荷的机械臂的振动模态函数[10]是不可行的。

本文将利用材料力学的方法，给出末端带载荷的单连杆机械臂弯曲力矩的积分方程，然后将该积分方程转化成形式上与Euler-Bernoulli方程相同，但边界条件不同的高阶偏微分方程，并由此给出末端带载荷的单连杆机械臂的振动模态函数。

1 柔性机械臂的力学模型

如图1所示，OXY表示机械臂的基座坐标系。连杆的长度为l、弯曲刚度为EI、质量为m，固连在机械臂的末端的载荷质量为mp。记ρ=m/l ，则：

图1 单连杆柔性机械臂的力学模型Fig.1Mechanical model of flexible link flexible joint manipulator

交换积分次序后：

将y(x,t )=Y(x)T(t)代入后得：

于是得：

特征方程的四个根为：±λ，±iλ，通解为

因此：

2 解的确定

将y(x,t)对x,t的有关偏导数分别为

由边界条件：

可得：

由式(1)得：

即：

上述方程组有解则系数矩阵不满秩。对系数矩阵进行行变换得：

当ε=0时，式(2)的一个基础解系为

由此可以求出：

经验证Y(x)满足所有边界条件，因此：

3 频率方程及解法

记q(z)=[1+cos(z )ch(z)]，z=λl，考虑到l的任意性，则ε=0化为

两端积分得q=cexp(-μz ),而q(0)=2，因此c=2，且：由知：

因此：

将式(3)改写为

其中0＜x＜(π/4)，k为非负整数。于是：

即：

3.1 迭代解法

对任何非负整数k，令：

进行迭代，则迭代必然收敛。不妨假定收敛于(k)x，则得到了频率方程的解：

3.2 近似解法

以mp=0的情形为例，表1给出了利用迭代解法求出的精确值和近似值的对比结果。

表1 精确值和近似值的对比Table 1Comparison of exact and approximate values

4 振动模态函数

5 结论

尽管末端带载荷的单连杆机械臂的自由振动动力学方程在形式上与Euler-Bernoulli方程一致，但推导的中间过程不同，特别是截面的弯矩M(x,t)不同。因此，末端带载荷与不带载荷的单连杆机械臂的自由振动动力学方程的边界条件是不同的，由此得到的频率方程和振动的固有频率也是不同的。

对于末端带载荷的单连杆机械臂的自由振动问题，本文中给出了振动频率的方程及解法，也给出了振动频率的近似解计算公式。由表1可以看出，随着频率序数的增加，振动频率的近似解可以很好地逼近真实解。

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Vibration ModalAnalysis of the Single-link Manipulator with End-effector Payload

AN Kai1，BI Yan2，MAJiaguang3
(1.China Aerospace and Technology Corporation Institute,Yantai264670,Shandong Province,China; 2.Yantai Vocational College,Yantai264003,Shandong Province,China; 2.Institute of Optics and Electronics,Chinese Academy of Sciences,Chengdu610209,China)

In order to deal with the problem of modal analysis of the single-link manipulator with end-effector payload, an integral equation is used to express the bending moment of the single-link manipulator with end-effector payload by using the method of materials mechanics.Then the integral equation is transformed into a partial differential equation that has the same expression and different boundary conditions as Euler-Bernoulli equation.The mode functions can be obtained by solving the partial differential equation.As the parameter of the mode functions,natural frequency of the single-link manipulator with end-effector payload is expressed by an equation.An iterative method to solve the natural frequency from the equation and an approximate expression of the natural frequency are given.The comparison result of real values and approximate values of the natural frequencies shows that the errors do not exceed 10-4except the first natural frequency,and the errors are close to zero with the increase of the natural frequency ordinal.

end-effector;bending moment;mode function;natural frequency

TH16；TP242.2

A

10.3969/j.issn.1003-501X.2016.07.004

1003-501X(2016)07-0022-06

2015-08-30；

2015-11-10

国家重点基础研究发展计划(973)资助项目(2013CB733000)；国防科工局空间碎片“十二五”项目(k0201210)资助项目

安凯(1957-)，男(汉族)，山西代县人。研究员，博士后，主要研究工作是智能控制与光学工程。E-mail:ankai2007@163.com。