GPS水准多项式曲面拟合的选取及应用

王佳丽，陈天伟，秦 豪，姚志华

（1.桂林理工大学 测绘地理信息学院，广西 桂林 541004）

GPS水准多项式曲面拟合的选取及应用

王佳丽1，陈天伟1，秦 豪1，姚志华1

（1.桂林理工大学 测绘地理信息学院，广西 桂林 541004）

介绍了GPS水准原理及多项式曲面拟合模型，并给出基于模型误差的函数模型优选准则。以某地区的实测高程异常数据为例，借助Matlab语言工具，重点从残差和均方差两方面对平面、相关平面、二次曲面和三次曲面4种多项式拟合模型进行比较分析。结果表明，相关平面拟合模型较优。

GPS水准；多项式曲面拟合；模型误差；高程异常

GPS能为用户提供精确的三维坐标、速度和时间，并具有速度快、精度高、操作方便、经济效益高的优点，在平面控制测量中得到广泛应用。研究GPS高程的意义有两个方面[1]：一是精确求定GPS点的正常高；二是求定高精度的似大地水准面。然而GPS提供的大地高无法在实际工程中发挥应有的作用。如何有效利用GPS水准拟合测区的高程异常信息，将大地高转换为正常高，涉及多个拟合模型的优化选取问题。

1 GPS水准拟合模型

1.1 GPS水准拟合的原理

GPS水准[2]就是在已获得大地高的GPS点上施测少量的几何水准点，称为已知点。反求出已知点的高程异常值，然后采用不同的拟合模型进行计算，求出待求点的高程异常，最后求出待求点的正常高。

正常高与大地高之间的转换过程[3]可表示为：

式中，Hr为正常高；H为大地高；ζ为高程异常。

1.2 多项式曲面拟合法[4-6]

设测站点的高程异常ζ与坐标（x，y）存在以下函数关系：

式中，f（x，y）为ζ趋势值；ε为误差。选用空间曲面函数进行拟合：

式中，ai（i=0，1，2…）为待定参数。将式（3）代入式（2），有：

写成矩阵形式为：

式中，

再根据式（4）求出各待定点的高程异常ζ，从而求出正常高Hr。下面给出几个常用的多项式拟合表达式。

平面拟合：

相关平面拟合：

二次曲面拟合：

三次曲面拟合：

1.3 拟合精度评定

为了能客观评定GPS水准计算的精度，在布设几何水准点联测时，应适当多联测几个点，以作外部检核使用。模型精度分为内符合精度和外符合精度。本文使用外符合精度，公式为：

式中，v'为检核点残差值；m为检核点个数。

2 拟合模型的优选理论

2.1 多项式拟合模型阶数的确定

对于相关平面拟合模型，其误差方程为：单独平差，求得4个参数的最小二乘估计、、、。代入式（12），求得残差平方和：

则拟合中误差为：

同样，二次曲面拟合的残差平方和记为Ω，拟合中误差为：

式（14）、（15）中的Ω和ΩH是两个相关的量，不可直接比较，而且拟合中误差的大小也不能完全反映上述标准。正确的做法是令：

R是在平面拟合模型中附加了二次项所引起的残差平方和的改正项。在线性假设检验法中已证明R是一个二次型函数，R与Ω相互独立，且可构造统计量F分布为：

其中，分子自由度为3；分母自由度为n-6。式（8）附加的二次项有1个参数，对统计量F作F分布的右尾检验，给出显著水平α，以α和分子自由度、分母自由度查F分布表，得显著水平为α的右尾分位值Fα。若式（17）计算的结果F＞Fα，则认为在模型中附加的二次项对拟合结果起了显著作用[7]，说明拟合时应顾及这些参数，并采用二次曲面拟合作为拟合模型；反之，则采用相关平面拟合。

2.2 函数模型的优选标准

GPS水准拟合函数的优选标准[8]是均方误差最小。均方误差为：

实际应用中，模型误差ε是未知的，对εTRε进行估计：

式中，R是非负定矩阵，εTRε应恒为正值，若为负值，取εTR～ε =0，认为模型误差ε不显著。将式（19）代入式（18）进行整理，得均方差估计公式：

式中，V为残差；σ2为观测数据的方差。

3 实例分析

3.1 数据介绍

某测区共有36个GPS水准点，GPS点位分布如图1所示，其高程异常变化如图2所示。

图1 GPS水准点位分布图

图2 高程异常变化分布图

3.2 基于残差的多项式曲面拟合比较

方案一：取14个均匀分布的点（2、4、6、9、14、15、18、22、23、24、25、28、30、32）作为公共点，其他点作为内插点，用不同阶次的曲面多项式进行拟合。

方案二：任选14个分布不均匀的点（2、3、5、9、10、11、13、14、18、21、22、23、33、36）作为公共点，其他点作为内插点，分别进行不同阶次的曲面多项式拟合。

方案三：取22个均匀分布的点（1、2、4、5、6、8、10、11、12、14、15、16、18、20、22、24、25、28、30、32、33、35）作为公共点，其他点作为内插点，用不同阶次的曲面多项式进行拟合。

利用Matlab编程计算，各方案的拟合残差分布如图3～5所示。将3个方案的拟合结果进行整合，数据比较见表1。

图3 方案一多项式曲面拟合残差分布图

图4 方案二多项式曲面拟合残差分布图

图5 方案三多项式曲面拟合残差分布图

从图3可知，当拟合点分布均匀时，三次曲面拟合出现了较大波动，残差最大值可达到20 cm，拟合效果不佳，而其他3种拟合方法的波动较小，拟合效果都很好。从图4可知，当拟合点分布不均匀时，三次曲面拟合依旧出现了大波动，平面拟合也略微有起伏，二者的拟合效果不佳，而另外两种拟合方法的波动较小，拟合效果很好。从图5可知，当拟合点分布均匀且点数较多时，4种拟合方法都出现了较大波动，拟合效果不太好，这说明拟合起算点数增加时拟合效果并不会随之提高。针对此测区，方案三并不适合，可排除。

表1 不同分布不同数目拟合点的拟合结果比较/m

结合表1分析，每个方案中三次曲面拟合的外符合精度都不好，而另外三种拟合方法的外符合精度相对较小且很接近，但仔细从数据上看还是有差距的，平面拟合的外符合精度较相关平面和二次曲面差，所以针对此测区，相关平面拟合和二次曲面拟合都适合，平面拟合次之，三次曲面拟合可排除。

3.3 基于均方误差的多项式曲面拟合比较

方案一：对全部36个水准联测点，进行不同阶次的多项式曲面拟合。

方案二：取其中14个均匀分布且包含高程异常最大、最小值的点（2、4、6、9、14、15、18、22、23、24、25、 28、30、32）作为公共点，其他点作为内插点，进行不同阶次的多项式曲面拟合。

方案三：选择14个分布不均匀的点（2、3、5、9、10、11、13、14、18、21、22、23、33、36）作为公共点，其他点作为内插点，进行不同阶次的多项式曲面拟合。拟合结果见表2。

分析表2数据可知，平面拟合的均方差值MSE（δ）最大，可以首先排除，而三次曲面拟合在上述残差比较中也已排除，现在只需要从相关平面拟合和二次曲面拟合中进行选择。3个方案中相关平面拟合和二次曲面拟合的MSE（δ）相对较为接近，可再根据统计量F分布来确定拟合多项式的阶数。由表2中的计算结果发现，3个方案的F＜F0.0536（F0.0536=4.75），表明引入的附加二次项参数不起显著作用，可认为相关平面拟合起显著作用。有文献指出，拟合多项式的阶数越低，法方程系数矩阵结构越好[9]，而二次曲面拟合是二阶多项式，相关平面拟合是去掉二次曲面拟合中的x2项和y2项所得，可避免因结点坐标过大引起法方程病态的状况，在一定程度上提高拟合精度。因此，针对该测区，采用相关平面拟合较为合适。

表2 多项式曲面拟合计算结果/cm

4 结 语

本文通过实例，对相关平面拟合、平面拟合、二次曲面拟合以及三次曲面拟合进行分析比较，为该测区选择了较为合适的拟合方法，上述4种方法的比较如表3所示。

表3 多项式拟合方法比较

决定最佳拟合模型的标准是均方误差最小。拟合模型一般都含有模型误差，应予以补偿。首先判断模型误差显著与否，然后再用适当的补偿方法进行补偿，从而提高拟合精度。这还需要进一步研究。

[1] 陈建保,施昆．GPS水准拟合方法比较[J]．昆明大学学报,2006,17(4)：12-15

[2] 袁德宝,崔希民,王果,等．GPS水准单一模型和综合模型精度比较[J]．测绘科学,2011,36(5)：55-56

[3] 欧阳玉华,阮戟．GPS水准高程拟合模型选择及应用[J]．地理空间信息,2008,6(6)：26-27

[4] 魏立峰,何建国．GPS高程拟合似大地水准面的方法[J]．地理空间信息,2010,8(4)：72-73

[5] 徐元海,闻洪峰,甄登春．GPS高程拟合方法比较[J]．地理空间信息,2012,10(3)：105-107

[6] 李广杰,何群,郭甲媵．GPS水准多项式曲面模型实验研究[J]．鞍山科技大学学报,2007,30(3)：262-265

[7] 李晓恒． GPS水准拟合模型的优选[J]．测绘通报,2003(7)：11-13

[8] 贾翔． GPS水准拟合模型的选取与模型误差的补偿[J]．山西建筑,2007,33(4)：348-349

[9] 张恒璟，程鹏飞，孙小荣． 多项式拟合模型病态性问题的分析与应用研究[J]．测绘通报，2012(7)：35-38

P224

B

1672-4623（2016）04-0052-04

10.3969/j.issn.1672-4623.2016.04.017

王佳丽，硕士，主要从事测绘地理信息数据采集与处理方面的工作。

2015-01-07。

项目来源：国家自然科学基金资助项目（41161072）；广西自然科学基金资助项目（2011GXNSFA018001）；广西空间信息与测绘重点实验室资助项目（1207115-08）。