平面问题各向同性弹性非线性本构方程

王海任，李 忱，苗亚男，赵 丽

(1.太原科技大学应用科学学院，太原 030024；2.山西省煤炭管理干部学院，太原 030006)



平面问题各向同性弹性非线性本构方程

王海任1，李 忱1，苗亚男1，赵 丽2

(1.太原科技大学应用科学学院，太原 030024；2.山西省煤炭管理干部学院，太原 030006)

基于张量函数得到的非线性各向同性材料的本构方程是完备的，不可约的。张量不变量、标量不变量表示的张量本构方程虽然在任意坐标系下都成立、具有普适性，但是实际应用仍需要转换到特定坐标系，才能和几何方程、平衡方程一起，组成完备的方程组求解弹性力学问题。将不变量表示的各向同性非线性本构方程，退化到笛卡尔直角坐标系下，推导出各向同性材料平面问题(平面应力与平面应变)的应力-应变方程，得到的本构方程是非线性的，并且将方程退化为线性与胡克定律比较研究。

各向同性；平面问题；非线性；本构方程

材料的本构关系研究，是当前变形体力学研究的热点问题之一，对于不同的研究对象，只有给出正确的本构关系，才有可能客观的反映出研究问题的本质。在实际应用中，本构关系是材料和结构强度设计、寿命安全评估的基础。为此，需要给出描述材料力学性质的本构关系。实际问题一般都是三维问题，为简化计算，可以利用研究对象几何形状特点与受力特点，将三维问题简化到平面域进行求解。例如，田雪坤等[1]在推导球坐标下的非线性热弹性本构方程时，将应变与位移进行简化，在简化应力计算时，引入了沿板壳厚度的积分来表示力和力矩，从而将三维问题转化为平面问题。平面问题的基本方程通常包括：平衡微分方程，几何方程，本构方程，变形协调方程，边界条件的描述，方程的求解方法等。近十几年来，平面问题依然是许多研究者的研究重点。例如，苏成等[2]推导了两边简支无限长薄板的弯曲问题并且得到了平面应力问题的基本解；吴成勇等[3]利用应变和函数方法，对平面应力问题进行求解；袁训锋等[4]在平面应力状态下研究切应力最值的问题；任珊等[5]从三维空间问题出发，推导平面问题按应力求解需要满足的条件，得到了空间问题可以简化为平面问题的几种情况；李芳等[6]在研究结构拓扑优化设计问题时，考虑研究对象的2维平面结构，提出利用虚拟层合单元进行拓扑优化的方法对平面应力问题进行结构拓扑优化；董春亮等[7]从平面应力状态问题分析方法入手，提出了一种基于应力圆的平面应力问题的新解法，等等。可以看出，以上平面问题的研究，大多局限于方程的平面问题求解方法以及实际应用问题,并不涉及到本构(物理)方程的研究。研究物质的宏观力学行为仅有变形和运动的几何描述及守恒定律，不能构成数学物理(初)边值问题的完整提法，因为仅有几何描述和守恒定律所给出的方程个数总少于需要确定的未知数个数。本文根据李忱推导出的非线性各向同性材料的不变量表示的本构方程[8]，推导笛卡尔直角坐标系下各向同性材料平面问题(平面应力与平面应变)下的应力-应变方程，得到包含完备不可约弹性常数的各向同性材料非线性平面问题本构方程。

1 张量形式本构方程

张量函数的完备和不可约表示，包含了非线性本构方程一般且协调一致不变形形式，规定了所引入标量变量的数目和类型，明确了独立的弹性张量形式。张量函数在建立描述非线性材料力学行为模型的过程中尤为有效。因为，不变性条件在张量函数中起到了支配性作用，“不变”是张量及张量函数的本质的特性。Wineman和pipkin[9,10]曾证明，张量多项式的完备表示均可以看作是一般张量函数的完备表示，但这种完备的表示绝大多数情况下并不是可约的。李忱在研究非线性本构理论时，采用“构造性证明”的方法，给出了各向同性材料的弹性张量本构方程，并且由于采用构造性方法，其多项式表示是完备、不可约的。由共轭的应力-应变张量K-E表示的非线性弹性本构方程为[11]：

K=K(1)+K(2)+K(3)+K(4)=φ01+2φ1E+3φ2E2=

(1)

其中：

(2)

式(1)的分量形式为：

(3)

2 平面问题

平面问题的特点是物体所受的面力和体力及其应力与某一个坐标轴无关[12]。平面问题可以分为平面应力问题，平面应变问题，广义平面应力问题，广义平面应变问题，本文研究的主要是简单的平面应力与平面应变问题。

2.1 平面应力状态

由弹性理论可知，平面应力状态下，应力张量与应变张量分别表示为：

应力张量分量：

(4)

应变张量分量 ：

(5)

(6)

将式(6)代入式(3)，合并同类项并化简，省略3阶以上高阶项，分别得到平面应力状态下各应力分量的表达式为：

(7)

(8)

(9)

(10)

2.2 平面应变状态

对于平面应变状态，此时的应力张量与应变张量可以表示为：

应力张量：

(11)

应变张量：

(12)

(13)

将式(13)代入到式(3)，合并同类项并化简，省略3阶以上高阶项，分别得到平面应变状态下各应力分量的表达式为：

(14)

(15)

(16)

(17)

3 本构方程的退化及其与胡克定律的比较

由上面可以看出：式(1)退化为平面问题条件下的本构方程，也是十分复杂的。但是如果我们引入弹性力学的一般假定，即材料是连续的，物体为均匀的各向同性，小变形状态，初始状态为无应力的自然状态，可以将得到的本构方程进一步退化为线性，得到如下线性本构关系：

3.1 平面应力状态

将得到的平面应力状态下的非线性本构方程截取线性部分，如下式所示：

σ11=k1(ε11+ε22+ε33)+2k2ε11

(18)

σ22=k1(ε11+ε22+ε33)+2k2ε22

(19)

σ22=k1(ε11+ε22+ε33)+2k2ε22

(20)

σ12=2k2ε12

(21)

通过观察，我们发现此时的本构关系里仅仅含有k1和k22个独立的弹性常数。由平面应力状态的应力状态可知，此处的σ33=0，由此，我们得到：

σ22=k1(ε11+ε22+ε33)+2k2ε33

(22)

继而可以得到：

(23)

由式(23)可以看出，在平面应力状态下，ε33并不独力，与ε11和ε22有确定的函数关系，这也意味着，在某一个确定的应力状态下，ε33是确定不变的，这个结果与现有文献[13]得到的结论一致。

此时将ε33的表达式(23)代入σ11,σ22和σ12的表达式(18)、 (19) 、(21)中，得到：

(24)

(25)

σ22=2k2ε12

(26)

胡克定律在平面应力情况下应力分量与应变分量的关系为：

(27)

(28)

τxy=Gγxy

(29)

根据小变形情况下的应变量矩阵形式关系：

(30)

可知：

(31)

对比退化的本构方程与胡克定律可以发现：

(32)

(33)

k2=G

(34)

最终可以得到：

(35)

同时可以推出：

(36)

3.2 平面应变状态

平面应变状态下非线性本构方程退化后的线性本构方程为：

σ11k1(ε11+ε22)+2k2ε11

(37)

σ22k1(ε11+ε22)+2k2ε22

(38)

σ33k1(ε11+ε22)

(39)

σ12=2k2ε11

(40)

平面应变状态下胡克定律表达形式为：

(41)

(42)

(43)

τxy=Gγxy

(44)

参考式(30)，对比平面应变两个本构方程，可以得到：

(45)

根据σ33=k1(ε11+ε22)重新计算σ33的表达式可以得到：

(46)

此式直接证明了σ33不是一个独立的量，可以由σ11和σ22求出，与现有弹塑性力学教材中的结论一致[14]。

同样的，可以利用如上方法，选择将平面问题下的本构方程 退化到更高次非线性，可以得到更加精确的高次非线性弹性本构方程。在具体使用过程中，可以依据具体问题的精度要求酌情选择方程非线性的次数。

4 讨论与结论

根据从张量角度得到的完备多项式形式的本构方程，退化为平面问题下的非线性本构方程，通过再次退化得到的线性弹性本构方程与胡克定律的比较，证明了由非线性弹性本构方程退化得到线性部分与胡克定律是一致的。非线性本构方程具有14个独立的弹性常数，线性本构方程具有2个独立的弹性常数，而且通过比较也可以得到本文线性独立常数与胡克定律的两个独立常数之间的关系。其他弹性系数以及方程非线性部分，是经过完备的不可约的非线性弹性张量本构方程推导得到的，可以通过具体实验得到其他弹性系数的数值，并且在实际应用过程中，可以依据具体问题的精度要求合理选择非线性方程的阶数。

[1] 田雪坤, 李忱, 王海任,等. 球坐标非线性热应力本构方程[J]. 太原科技大学学报, 2014,35(6):464-468.

[2] 苏成, 韩大建. 域外奇点法分析薄板的弯曲和平面应力问题[J]. 工程力学, 1994,11 (4):17-26.

[3] 吴成勇, 李章政, 蒋国宾,等. 用应变和函数法解平面应力问题[J]. 四川大学学报：工程科学版, 2004, 35(5):96-98.

[4] 袁训锋, 王杰, 李英,等. 平面应力状态下切应力最值问题研究[J]. 自动化与仪器仪表, 2015(4):167-170.

[5] 任珊, 罗艳. 关于弹性力学平面应力问题与应变问题的判别[J]. 力学与实践, 2015, 37(5):644-646.

[6] 李芳, 凌道盛. 平面应力问题的结构拓扑优化[J]. 浙江工业大学学报, 2000,28(3):220-223.

[7] 董春亮, 卢小雨. 平面应力状态分析的一种新方法[J]. 攀枝花学院学报, 2015,32(2):70-72.

[8] 李忱.超弹性体非线性本构理论[M]. 北京：国防工业出版社,2012.

[9] PIPKIN A C, WINEMAN A S. Material symmetry restrictions on non-polynomial constitutive equation [J]. Arch Ratl Mech Anal,1963,12(1): 420-426.

[10] WINEMAN A S, PIPKIN A C. Material symmetry restrictions on constitutive equations [J]. Arch Ratl Mech Anal, 1964,17(3):184-214.

[11] 李忱,杨桂通,黄执中.各向同性弹性介质非线性本构方程[J]. 工程力学, 2010, 27:1-5.

[12] 杨桂通. 弹塑性力学引论[M]. 北京: 清华大学出版社, 2004.

[13] 黄海明. 论平面应力状态[J]. 科学技术与工程, 2009, 9(4):985-987.

[14] 陆明万,罗学富. 弹性理论基础[M]. 北京: 清华大学出版社, 2001.

TheIsotropic Non-linear Elastic Constitutive Equations of Plane Problem

WANG Hai-Ren1, LI Chen1, MIAO Ya-Nan1, ZHAO Li2

(1.Taiyuan University of Science &Technology, Taiyuan 030024, China; 2.Shanxi Coal Mining Administrators College, Taiyuan 030006, China)

The non-linear constitutive equation of isotropic material on the basis of tensor functions is complete and irreducible. The function expressed by tensor invariants and scalar invariants is correct and universal in arbitrary coordinate. It still needs to be converted into a specific coordinate system, if we want to solve the problems in the practical application. Tensor constitutive equation is degenerated to Cartesian rectangular coordinate system. The stress and strain relationship about the plane problem (plane stress and plane strain) of isotropic materials is derived. These constitutive equations are nonlinear, and these equations are reduced to linear and compared with Hooke's law.

isotropic, plane problem, nonlinear, constitutive equation

1673-2057(2016)05-0495-05

2015-10-14

国家自然科学基金项目(11372207)；山西省自然科学基金(2013011005-4)

王海任(1988- )男，硕士研究生，主要研究方向高温材料力学行为。通信作者：李忱教授，E-mail:tydz_lc@126.com

O343.5

A

10.3969/j.issn.1673-2057.2016.06.015