几类具有奇性的p-Laplacian类算子周期解问题

秦伟良， 徐丹丹

(南京信息工程大学 数学系 江苏 南京 210044)



几类具有奇性的p-Laplacian类算子周期解问题

秦伟良， 徐丹丹

(南京信息工程大学 数学系 江苏 南京 210044)

应用Mawhin重合度延拓定理，研究了具有吸引、排斥型奇性的Liénard和Rayeigh方程周期正解的存在性问题.主要结果表明，这两类具有奇性的方程至少存在一个周期正解.

Liénard方程； Rayeigh方程； 奇性； 周期解

0 引言

近年来，具有奇性的Liénard和Rayeigh方程周期解问题被广泛研究[1-13].文献[1]对具有奇性的Liénard方程x″+f(x)x′+g(t,x)=0,0

本文研究在R范围下的具有奇性的p-Laplacian类算子T-周期正解的存在性问题.考虑一维的p-Laplacian算子(φp(u′))′，其中：p>1；φp:R→R为φp(s)=sp-2s(s≠0,φp(0)=0).

1 预备引理

令φ为R→R上的连续函数，且满足下面条件：

1) 对于任意的x1，x2∈R，x1≠x2，(φ(x1)-φ(x2))(x1-x2)>0，

2) 存在一个函数α:[0,+∞)→[0,+∞)，α(s)→+∞ 且s→+∞，对于所有的x∈R,φ(x)x≥α(x)x.

1) 对于每一个λ∈(0,1)，方程

(φ(u′))′=λf(t,u,u′),u(0)=u(T),u′(0)=u′(T)

(1)

在∂Ω上无解；

2 具有吸引-排斥型奇性的Liénard方程

考虑问题

(u′p-2u′)′+f(u)u′+g1(u)+g2(t,u)=h(t),u(0)=u(T),u′(0)=u′(T)，

(2)

其中：p>1；f:R→R连续，g1:R→R连续，g2:(I×R)→R是Carathéodory映射；g1，g2在u=0点具有奇性；g1(u)为吸引型，即u→0+时g1(u)→+∞;g2(t,u)为排斥型，即u→0+时g2(t,u)→-∞；h∈L1.下面的结果为引理2的简单推广.

引理3[4]假设存在正常数M0、M1和M2，满足下面条件：

1)对于所有λ∈(0,1]，方程(u′p-2u′)′+λf(u)u′+λg1(u)+λg2(t,u)=λh(t)的每一个可能的正T-周期解u，满足不等式M0

2)方程g1(c)+g2(t,c)-h(t)=0的每一个可能的解c，满足M0

3)若(g1(M0)+g2(t,M0)-h(t))(g1(M1)+g2(t,M1)-h(t))<0，则方程(2)至少存在一个T-周期解u，使得对于所有t∈[0,T]满足r

证明 假设条件(H2)意味着存在D1>0，对于所有的u∈(0,D1]，有g1(u)+g2(t,u)-h(t)>0.因此，若对所有t∈[0,T]，有00,∀t∈[0,T]，因此

(3)

但是，如果u是方程(2)的T-周期解，将方程(2)在[0,T]上积分并考虑周期条件，得到

(4)

方程(3)和(4)意味着在t0∈[0,T]上，u(t0)>D1.另一方面，假设条件(H2)表明存在D2>D1，使得对于所有的u≥D2，有g1(u)+g2(t,u)-h(t)<0.因此，若在t∈[0,T]上有u(t)≥D2，则

(5)

比较方程(4)和(5)得到，如果u是方程(4)的T-周期解，那么存在t1∈[0,T]，使得u(t1)

证明 首先，将方程(4)嵌入带参数λ∈(0,1)的方程族，等价于

(u′p-2u′)′+λf(u)u′+λg1(u)+λg2(t,u)=λh(t)，

(6)

则若u是方程(4)的一个T-周期正解，将式(4)两边乘以u，得到

(u′p-2u′)′u+λf(u)u′u+λg1(u)u+λg2(t,u)u=λh(t)u，

(7)

定义I+={t∈[0,T]:g2(t,u)≥0}，I-={t∈[0,T]:g2(t,u)≤0}.

(8)

对任意的ò>0,存在φ∈C(R,R),φ(t+T)=φ(t),使得g2(t,u)≤(φ(t)+ò)u+gò(t).结合式(4)和(8)，有

(9)

证明 如果u是式(4)的一个T-周期解，令

v(t)=u′(t)(p-2)u′(t)，

(10)

则u连续且

u′(t)=v(t)(q-2)v(t)，

(11)

v′(t)+λf(u)u′=-λg1(u)-λg2(t,u)+λh(t)，

(12)

(13)

定理1 假设条件(H1)～(H6)都满足，那么方程(4)至少有一个T-周期正解.

证明 由引理4和引理6得M00，其中0D2)，同时推出(g1(M0)+g2(t,M0)-h(t))(g1(M1)+g2(t,M1)-h(t))<0.则引理3的条件2)和3)满足，证明完毕.

3 吸引或排斥型的Liénard方程

假设φ:R→R连续且满足条件(H1)和(H2).运用重合度延拓定理研究如下形式的方程:

(φ(u′))′=f(u)u′+g(t,u)+e(t),u(0)=u(T),u′(0)=u′(T)，

(14)

其中:f，g连续；函数g在0具有奇性；e∈L1.

定理2 假设满足以下条件：

1) 对于所有x，y∈R，t∈I，存在n∈C1(R,R)和h∈L1(I,R+)满足

φ(y)n′(x)y≥0,

(15)

和

f(x)y+g(x)+e(t)≤(f(x)y+g(x)+e(t))n(x)+h(t).

证明 首先，将式(14)嵌入带参数的λ∈(0,1)的方程族，等价于

(φ(u′))′=λf(u)u′+λg(u)+λe(t).

(17)

(18)

[1] ZHANG M.Periodic solutions of lienard equations with singular forces of repulsive type [J].Journal of mathematical analysis and applications,1996,203:254-269.

[2] GAINES R E,MAWHIN J L.Coincidence degree and nonlinear differential equations [M].Berlin:Springer,1977.

[3] WANG Z H.Periodic solutions of Lienard equations with a singularity and a deviating argument [J].Nonlinear analysis real word applications,2014,16(16):227-234.

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[8] 高娟娟，贾小尧，马继佳．一类p(x)-Laplacian问题解的存在性[J]．河南科技大学学报(自然科学版) ，2014，35(3)：86-94．

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[10] TORRES P J.Existence and stability of periodic solutions for second order semilinear differential equations with a singular nonlinearity[J].Proceeding of the royal society of edinburgh,2007,137(1):195-201.

[11] HAKL R,TORRESP J.On periodic solutions of second-order differential equations with attractive-repulsive singularities[J].Journal of differential equations,2010,248(1):111-126.

[12] FABRY C,FAYYAD D.Periodic solutions of second order differential equations with ap-Laplacian and asymmetric nonlinearities[J].Rend Istit Mat Univ Trieste,1992,24(1):207-227.

(责任编辑：方惠敏)

Periodic Solutions of p-Laplacian-like Operators with Singularities

QIN Weiliang, XU Dandan

(DepartmentofMathematicsandStatistics,NanjingUniversityofInformation
Science&Technology,Nanjing210044,China)

The degree theorem was used to explore an existence result of periodic solution for the Liénard equations and Rayeigh equations with singular forces of attractive and repulsive type.The main result showed that the scalar of these two kinds equations with singular forces had at least one positive periodic solution.

Liénard equation; Rayeigh equation; singularity; periodic solution

2016-05-12

国家自然科学基金资助项目(41505118)．

秦伟良(1965—)，男，江苏常州人，副教授，主要从事应用统计和非线性微分方程研究，E-mail:hetangtang88@163.com；通讯作者：徐丹丹(1991—)，女，江苏淮安人，硕士研究生，主要从事非线性常微分方程研究，E-mail:1159489113@qq.com．

秦伟良，徐丹丹．几类具有奇性的p-Laplacian类算子周期解问题[J]．郑州大学学报(理学版)，2016，48(4)：10-14．

O175.14

A

1671-6841(2016)04-0010-05

10.13705/j.issn.1671-6841.2016608