“方程的意义”教学赏析

周莹

对教材中呈现的列方程法解决问题的例题，学生感受不到方程的优势，反而总感觉它书写过程烦琐，没有明确要求时不愿列方程，更喜欢用算式法解决问题，要求列方程解决问题时，出现用算术思路思考问题，再在等号后面写“x”。很多一线教师常被这些问题困扰着……

我跟随京、苏、粤、浙四省市中小学卓越教师培训班来到广州中山，有幸听到了广东省著名特级教师刘燕老师执教的“方程的意义”，使我茅塞顿开，在此与各位同仁分享。

片段一：唤醒思维，悟本质

师：数学难不难啊！一起来看一看。（出示下图）

师：难吗？会吗？

生：不难，很容易的，8-2=6。

师：一年级有个小朋友叫小芳，她也是这样做的。还有一个叫小明，他想呀想，“要列一个怎么样的算式才能表示篮子里的球呢？”他顺着算式的意思，篮子里的球不知道是几个，他就空着，又拿来两个他就……

生：加2。

师：现在篮子里有……

生：等于8。

师：看着算式发现方框里有6个球，就写下了这样一道算式（6+2=8）。他终于做出来了，不过遇到一个麻烦，你知道是什么麻烦吗？

生：这样列算式别人不知道谁是答案了。

师：你能帮小明想想办法吗？

生1：用括号表示不知道的数，算式写成“（ ）+2=8”。

生2：把未知数改成x，算式写成“x+2=8”。

师：还可以用什么符号表示未知的“6”呢？

生：问号、方框、圆圈，随便什么符号都可以的……

师：古代有个数学家也选择了用x表示未知数，我们把这个方法写下来。

师：（出示：原来盘子里有一些苹果，吃掉了7个，还剩3个，原来盘子里有多少个苹果？）这个问题怎么解决？

生：7+3=10（个）。

师：小明又不知道怎么才能等于盘子里的苹果了。他顺着题目的意思列了一道有x的式子。猜一猜他的式子是怎么样的？

生1：7+3=x。

生2：x-7=3。

师：你觉得哪个更可能是小明的式子？你是怎么想的？

生：x-7=3，盘子里有一些苹果，小明就用x表示，吃掉了7个就是减7，还剩3个就等于3了。刚好是顺着题目的意思。

师：（出示：爸爸今年36岁，小红年龄的3倍刚好和爸爸的年龄一样，小红今年多少岁？）小芳会怎样做？

生：36÷3=12。

师：小明又请来x，他会写一道怎样的算式？

生：x×3=36。

师：小明是怎么想的？

生：用x表示小红的年龄，她年龄的3倍就是x乘3，也就是爸爸的年龄等于36。

师：一转眼，他们读到了三年级。（出示：一个数加上31、减去56等于320，这个数是多少？）

师：小芳和小明各自会怎么做？把算式写下来，只列式不计算。

（教师巡视，两名学生板演小芳和小明各自的做法。）

师：（指“x+31-56=320”）认为对的同学请举手，容易判断吗？怎么判断？

生：顺着题目，“一个数”就用x表示，加上31减去56等于320。很简单，一点不用动脑筋的。

师：再来看看小芳的方法，她是怎么想的？

生：原来减去56就把它加回来，原来加上31就要把它减下去。

（学生轻声说：“小芳是学霸。”）

师：大家对小芳表示很钦佩！他们读呀读，读到了……

生：四年级。

师：（出示：某风景区儿童票价格的2倍多5元，刚好是成人票的价格145元再加10元。儿童票的价格是多少元？）

师：小明的方法？

生1：x×2+5=145+10。

师：同意的给他掌声，x表示……

生：x表示儿童票价格。

师：再来看看小芳的方法。

生1：（140-5）÷2+10。

生2：这个做法不对，应该是（145+10-5）÷2，因为……

师：你觉得这题目谁的算式比较容易想？

赏析：把“未知”当作“已知”，顺着题目的意思列算式，正是方程法解决问题的思考方式。这种跟问题情境表达一致的顺向思考方式，却随着算术法解决问题经验的增加与训练的加强，渐渐地被学生遗忘了。教师从一年级的看图解决问题开始，唤醒顺向思维，突显方程顺向表达数量关系的事实。在猜测“小明会怎么做？”的过程中，激发这种因习惯于算术法而“被深埋”的思考方式，引导学生一步一步找回按照顺向思维列算式的记忆。随着题目难度的逐步加深，学生终于发出“小芳是学霸！”的感叹，真切地感悟到了列方程算式在思维上的便捷。让学生真正从心里喜欢上了方程，从而乐学、学好方程这一新知。

片段二：对比分析，明形式

师：他们的算式有什么相同和什么不同的地方？同桌之间先说一说。

师：（同桌互说后反馈）有什么不同？

生1：小明一直在用未知数x，小芳的算式里没有未知数。

生2：小明的方法只要顺着题目的意思写出算式，不太会出错。小芳的方法有时候有点难。

师：有什么相同？

生1：都用了已知条件。

生2：算出来的答案都是一样的。

生3：都有等号。

师：哦！他们列出来的都是等式。

师：像小明的方法这样，有未知数的等式我们叫方程。这节课就来学习方程的意义。（板书课题）

师：其实方程在很早之前就有了。

（出示数学史，讲述方程的发展过程。）

师：未知数可以用x表示，还可以用……

生：用y，或者其他的字母都可以的。

赏析：教师借助小芳和小明两组算式的对比，揭示方程的形式定义——含有未知数的等式叫方程。借助方程文化背景的介绍完善学生对方程的认识。有人这样形容过数学史与数学教育的关系：“数学史与数学教育是使面包与黄油更加可口的蜂蜜。”这一环节中，方程发展过程的简要介绍，用时不多，却让学生知道了无论是三千多年前的古埃及还是两千多年前的中国，都有关于方程的记载，四百多年前开始使用字母来表示未知数，三百年前笛卡尔首次使用26个字母的后面几个“x、y、z”表示未知数沿用至今。使学生进一步明确现在我们所看到的方程只是经过多年的改变一直沿用至今的一种外在形式。

片段三：图符转化，促理解

师：如果两边这样放东西，你说天平会怎样？做个手势！

师：当天平左右两边放的重量是一样的时候，和我们方程中左右相等的性质是一样的……

师：当天平中有某一边有物体的重量不知道，就和含有未知数的性质是一致的，人们很喜欢借助天平来认识方程。

师：看这个天平，你能根据这个天平来列一个方程吗？

生：x+45=110+50。

师：把两边的物体对调一下，你能再列一道方程吗？

生：110+50=x+45。

师：（出示下图）这里有根据四个天平写的四个式子，你觉得哪个是方程？

生：③号是方程。

师：你们都觉得③号是方程？为什么④号不是方程呢？

生：④号里没有未知数。

师：①号和②号都有未知数，为什么不是方程呢？

生：因为它们左右两边不相等。

师：我给你一个方程，你能不能根据一个方程画出天平？（教师示范画第一个方程）

师：想表示哪一道？试试第三道“x乘3等于36”。

师：画完的同学可以试试画第五道……

赏析：本环节教师借助看天平写方程和不等式以及对方程的判断，巩固方程的形式定义。使学生进一步明确方程形式定义的两个要素，“等式”和“含有未知数”。在借助天平学习方程的过程中，教师设计了两个层次，先由“图”到“符号”再由“符号”到“图”，在图与符号相互转化的过程中促进学生对方程等价属性的理解。

片段四：左右变化，谋深化

师：现在我要出一道高难度的题目考考你，你能根据它（出示下图）来列一道方程吗？先和同桌说一下。

生：800+150+50=400+x+x+150+50。

师：这么难都行！再挑战一下，从天平两边去掉一点东西，创造一个新的方程。

生：两边各去掉一颗草莓，方程是“800+150=400+x+x+150”。

生：把两边的梨也都去掉，方程是“800=400+x+x”。

师：还能再变吗？

（学生没有反应）

师：老师提示一下，你们可以把西瓜……

生1：把西瓜去掉一半，把菠萝也去掉，天平还是平衡的。

生2：对的，可以的，这时候方程是400=2×x。

师：还能再去掉吗？

生：把西瓜再去掉一半，方程是200=x。

赏析：这是一个课堂延伸的环节，本节课旨在理解方程的本质属性，初步体会方程法解决问题的思考方式——“用数学的符号把两件事情等价表达出来”。教师在课尾利用天平的直观，以“从天平两边去掉一点东西，创造新的方程”这个问题引导学生加工目前的相等关系，在不破坏平衡的前提下改变，继而写出新的方程。而这正是应用等式的性质解方程的关键。因为有了天平的直观，学生轻而易举地想到了“两边各去掉一颗草莓”“把两边的梨也都去掉”，在单个的水果都拿掉以后，面对左边只有一个西瓜的天平，学生的思维受挫，经过教师的提示，找到了解决策略。就这样，教师借助写新的方程，悄无声息地领着学生体验了一次解方程的过程。虽然教师没有点破，这次体验却为后面解方程的学习积累宝贵经验。