柳暗花明又一村

张希杰

所谓构造的思想方法，就是指在对问题进行透彻地分析，对其实质进行深刻地了解的基础上，借助于逻辑分析或长期积累的经验，发挥高度的想象和创造性，将原来的问题从原来的模式转化为更能反映其本质特征的新模式的思想方法。构造思想是一种很活跃的创造性思想方法，它能沟通数学各个不同的分支，甚至还能沟通数学与其他的学科，实现跨度极大的问题转化，这是一种难度大、规律不易掌握的高层次的思想方法。历史上有不少著名的数学家，如欧几里得、欧拉、高斯、拉格朗日等人，都曾经用“构造法”成功地解决过数学上的难题。数学是一门创造性的艺术，蕴含着丰富的美，而灵活、巧妙的构造令人拍手叫绝，能为数学问题的解决增添色彩，更具研究和欣赏价值。近几年来，构造法及其应用又逐渐为数学教育界所重视，在高考和数学竞赛中有着一定的地位。其中以构造函数法、构造方程法、构造图形法、构造模型法等最为常见。

一、构造函数求解

[例1]已知a>0，b>0，求证：a㏑（a+b）-b

分析：这是一个含有二元变量的对数不等式，似乎很难找到突破口，我们不妨将求证部分等价变形为a[ln（a+b）-lna]

二、构造方程求解

[例2]设实数a、b、c满足a2-bc-8a+7=0b2+c2+bc-6a+6=0，求a的取值范围。

分析：由已知得bc=a2-8a+7b+c=±（a-1），故构造方程x2±（a-1）x+a2-8a+7=0

∴△=[±（a-1）]2-4（a2-8a+7）≥0

即a2-10a+9≤0。

∴1≤a≤9

三、构造图形求解

[例3]已知一个三棱锥相对两棱两两相等，且棱长分别为5，，求此三棱锥体积（图1）

分析：不妨作如图所示三棱锥A-BCD，直接求体积显然十分困难。因为图形不特殊，但能否着眼于相对的棱相等来联想有没有类似这样的新的图形呢？于是想到构造长方体，长方体的面对角线有这种结构。

如图：作长方体EFGH-E1F1G1H1由长方体的对称性不妨设相对的两条面对角线的长分别为5、则三棱锥G1-E1FH正好是符合题意的四面体，设长方体各棱长分别为x、y、z，则有：

四、构造模型求解

[例4]（哥尼斯堡七桥问题）18世纪哥尼斯堡为东普鲁士首府，布勒尔河穿城而过，河中有一小岛图3。当地的居民常到这散步，“如何能不重复地一次走遍这七座桥而返回出发地呢？”许多人均未成功，这便产生了上著名的“七桥问题”。1735年 欧拉对该问题进行抽象，构造出图论中的“一笔画”模型（如图4）才知该问题无解，这一模型的构造充分展示出欧拉超人的智慧

从以上各例不难看出，构造法是一种极富技巧性和创造性的解题方法，体现了数学中发现、类比、化归的思想，也渗透着猜想、探索、特殊化等重要的数学方法。运用构造法解数学题可从中欣赏数学之美，感受解题乐趣，更重要的是可开拓思维空间，启迪智慧，并对培养多元化思维和创新精神大有裨益。构造法体现了数学发现的思维特点，“构造”不是“胡思乱想”，不是凭空“臆造”，而是要以所掌握的知识为背景，以具备的能力为基础，以观察为先导，以分析为武器，通过仔细地观察、分析、去发现问题的各个环节以及其中的联系，从而为寻求解法创造条件。最后还应指出，构造法并非是上述题型的唯一解法，并且构造法也不只限于本文提到的几种，对于同一道题既能有几种构造法，也可以用其它方法来解，应注意在学习研究的过程中注意对学生创新性思维的培养，使学生体会知识间的内在联系和互相转化，能创造性的构造解决问题的有力条件，巧妙地解决问题，从而获得学习的愉悦感和成功的体验。在数学竞赛辅导过程中，需要长期给学生进行有针对性的数学思想方法的训练。其中构造法解题的思想，就是一种值得推广的解题思想方法。通过构造，可以建立起各种数学知识之间的联系与相互转化，让学生在熟练掌握各种数学知识的前提下交互使用，融会贯通。