基于 HPM视角下函数概念
——“集合关系说”的教学设计

郑文晶

（呼伦贝尔学院 内蒙古 海拉尔 021008）

函数概念是被广泛应用的数学概念之一，其重要意义远远超出了数学范围，在数学中，函数处于基础的核心地位，函数不仅是贯穿于中学数学的一条主线，它也是数学分析这门课程研究的对象。在数学分析第一章应用“集合对应说”给出了函数概念，介绍多元函数时，用集合论的语言较严格地给出函数概念的另一种形式，学生们产生疑问，为什么又要重新定义函数的概念？本文从HPM（数学史与数学教学关系的国际研究组织）视角下，以函数概念课堂教学为例，从数学知识、数学发展史、学生对数学知识的认知，三个维度出发，依据数学教学中运用数学史的方式运用于教学，让学生在已有的认知基础上，完成概念的再认识，在HPM视角下,通过预见和解释学生的学习困难，为学生寻找认知的固着点。

1.对学生函数概念的认知调查

对某高校的大一本科74名学生，在按照函数概念常规的教学顺序，在完成函数概念教学后，进行了问卷及部分学生进行了访谈。在问卷中针对函数概念提出了四道问题：

1.1 回忆你所学的函数概念，用自己的理解描述什么是函数（学生的回答见表1） ；

1.2 你认为大学所学的函数概念最本质的特征是什么（学生的回答见表2）；

1.3 谈谈你对大学所学的函数概念的认识，并说出初中函数概念、高中函数概念有什么不同（学生的回答见表3）；

1.4 你知道函数概念的发展史吗（学生的回答见表4）；

学生做了如下回答:

从学生问卷和访谈的情况来看，在实际教学中部分教师对初、高中、大学函数概念的衔接缺乏充分的认识，不能多角度看待函数概念，不能帮助学生实现初、高中，大学函数概念的自然过度，缺少对函数概念的整体把握。

2.函数概念的演进史

函数概念是随着数学的发展而不断深化的，函数概念至17世纪下半叶到现在历经300多年的历史变迁，一次一次被扩展和严格化，其演变过程可分为以下几个阶段：

表1

表2

表3

表4

2.1函数概念的萌芽

在16世纪由于对物体运动的研究，人们开始转入对各种变化过程和各种变化着的量之间依赖关系的研究，在数学中产生了变量与函数概念，特别是进入17世纪以后，笛卡尔引入了直角坐标与变量，使数学发生了具大变革，但当时笛卡尔也没有使用变量这一术语，而称为“未知和未定的量”，变量作为数学名词是约翰·贝努利（JohanBernoulli，1667-1748）首先应用的，函数（function）这一名词是德国哲学家兼数学家莱布尼兹（Liebniz，1646--1716）首先采用的，在最初莱布尼兹用函数一词表示变量的幂，其后莱布尼兹还用函数一词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点相关的某些几何量，这也是最初的函数概念的萌芽。

2.2函数概念——变量依赖说

1718年，约翰·贝努利将x的函数从xn拓广到用代数符号来表达与 x的所有量。给出函数的定义：“一个变量的函数是由该变量和一些常数以任何方式组成的量。” 贝努利的定义仅仅局限于代数式。

1748年欧拉（L.Euler,1707--1783）在约翰·贝努利的基础上首次用“解析式”来定义函数：“变量的函数是一个解析表达式，它是这个变量和一些常量以任何方式组成的所谓解析式，它是通过算数运算，三角运算以及指数运算和对数运算连接变量和常量的分子。”欧拉此时，已经明确破了代数的局限。

1755年欧拉又更新了函数的定义：“如果某些变量以这样一种方式依赖于另一些变量，当后面这些变量变化时，前面这些变量也随之变化，则前面的量称为后面的量的函数。”欧拉的第二个定义，与现代函数的定义很接近，在函数的表达上不拘于用解析式来表达，破除了用公式表达函数的局限性，他认为函数不一定用公式来表达，他曾把画在坐标系上的曲线也叫做函数。他认为，函数是随意画出的一条曲线。

2.3函数概念——变量对应说

随着数学的不断发展，数学家们又把数学概念推到了一个新的层次。为了突破变量依赖说的限制，1823年，法国数学家柯西(Cauchy,1789—1857)给函数如下定义：“对于x的每一个值，如果y有完全确定的值与之对应，则y叫x的函数。”这个定义把函数概念与曲线、连续、解析式等纠缠不清的关系给予澄清，也避免了“变化”一词，但是对于函数概念的本质——对应思想强调不够。此后黎曼（Riemann，1826-1866）和狄里克雷（Dirichlet，1805--1859）认识到了这一点，黎曼给出了较精确的定义：“若对于x的每一个值，有完全确定的 y值与之对应，不管建立起这种对应方式如何，都称y叫x的函数。”这一定义彻底抛弃了解析式的束缚，特别强调和突出函数概念的本质——对应思想，使之具有更加丰富的内涵。

1837年狄里克雷进一步指出：“对于在某一区间上的每一个确定的x值，y都有一个或多个确定的值与之对应，那么y叫x的函数。”这两个定义被公认为函数的现代定义。

2.4函数概念——集合对应说

19世纪末20世纪初，把函数看作一种对应的思想已经完成，随着数学研究方法和研究领域的迅速发展，这种对应的自变量、因变量的取值范围也不断地发生变化，如果说前面两个世纪的人们把更多的注意力投放在函数的解析式上，那么20世纪的数学家开始关注自变量的取值范围。这不仅因为解决实际问题而提出了问题，更主要是20世纪初，集合论的诞生，彻底地改变了人们的思考方式。德国数学家康托（Cantor.1845--1918）提出的集合论被世人广泛接受后，用集合的对应关系来表示函数概念渐渐地占据了数学家的思维，通过集合论的概念把函数的对应关系、定义域、值域进一步具体化，那么函数便明确地定义为集合的对应关系：如果对于集合的A中的每一个元素x，都有集合B的一个确定的元素y与之对应，则称y为x的函数。这个定义突破了狄利克雷古典定义中数集与数集之间对应的限制，使函数外延大大扩张了，同时避免了“自变量”，“因变量”的提法，但这个定义任然有缺陷，因为引用了未加定义的“对应”概念。

2.5 函数概念——集合关系说

“关系说”是“现代函数定义”，19世纪康托建立了集合论，函数概念进入了集合论的范畴，使函数概念纯粹地使用集合论语言进行定义，在这种情况下，函数、映射又归结为一种更为广泛的概念——关系。

“设集合X与Y，定义X与Y的积集如下：XY={(x,y)∣x∈X,y∈Y},积集 X×Y 中的一个子集R，称为X与Y的一个关系，若(x,y)∈R，则称x与y有关系，记为xR(y)；若(x,y)R则称x与y无关系R，f设x是与y的关系，即f⊂X×Y如果(x,y) ，(x,z)，必有y=z，那么称f为X到Y的映射或函数。”这就是现代函数定义”它在形式上回避了“对应”术语，使用的全是集合论语言，一扫原来定义在“对应”的含义存在的模糊性，而使函数概念更为清晰、准确。应用范围更广泛了。

3.HPM视角下函数概念的教学设计

HPM视角下函数概念的教学设计，根据历史发

生原理从数学知识、学生对数学知识的认知和函数概念演变的不同发展阶段，三个维度出发，从不同角度认识函数的本质及其形成过程。为函数概念教学提供一份教学示例，供广大师生参考。

3.1教学设计的目的

从整体上讲，对于函数概念，学生在已掌握“集合对应说”的基础上，基于HPM视角下，借助史料完成对函数概念集合关系说的再认识。

3.2课堂教学设计

设X、Y为两个集合，有对应法则 f ，使得对 ∀ x∈X,∃唯一的 y ∈Y与之对应，则称 f是定义在集合X到集合Y上的一个函数（或映射），记作

3.2.1课题引入

根据函数的三中表示方法：解析法、图像法、表格法，本节课从函数的三种表示方法引入，借助PPT介绍函数概念的演进史，让学生了解约翰.伯努利、欧拉、狄利克雷等数学大师给出的各自不同的函数定义，帮助学生理解今天函数概念的实质意义，进一步加深对函数概念的掌握。

3.2.2教学过程

（1）回顾已学的函数定义：

师：通过PPT介绍函数概念的演进史，我们知道 在第一章应用“对应关系”给出函数概念的“集合对应说”，哪位同学能说出函数的定义？

生：（学生A给出了函数的不完整定义，学生B有进行了补充。)

师：（通过A、B两位学生的回答，教师给出下面函数概念的定义）

记作 y = f(x)，称 y 为x在（映射）f下，的象， x 为 y的原象，X称为f的定义域，记为 D (f)= X ，所有 x ∈ X 在映射 f下的象全体称为 f的值域，记为R(f)：

师：我们知道函数的概念，从萌芽阶段、变量依赖说、变量对应说再到集合对应说，那么函数这个概念到目前为止，是否达到严密了？

生：是，严密了。

师：不严密。这个定义虽然突破了数集与数集之间对应的限制，使函数外延大大扩张了，同时避免了“自变量”，“因变量”的提法，但这个定义任然有缺陷，从现代数学观点来看，这个函数概念是不严格的，谁能说说，那句话是不严密的？

生：.....

师：因为这里引用到了与函数概念等价的“对应关系”或“对应”，何为对应关系或对应尚无定义，因此，这个函数概念有缺陷，是不严格的,下面将探索给出比较严格的函数定义。

（2）探索新的函数定义：

师：我们知道，两个元素组成的集合 { x ,y }与{a ,b }相同是指？

师：对！集合中的元素没有次序可言的。当我们说元素x与y组成“序对” ( x ,y ) 时，对序对 ( x ,y )与 ( a,b )来说，它们相等的意思是指：

生 ： x = a ,y=b 。

师：对于两个集合A,B,记

即一切序对 ( x ,y )之全体，称 A × B 为A与B的直积。

例如 A = {0,1}， B ={2,4,1}，则

从直积的观点看问题，二维平面就是直积：

师：我们已知一元函数的图像 y = f(x)，x∈ A 是坐标平面 R2上有序数对的集合{(x,y)x ∈A,y =f(x)∈B}，这个有序数对的集合实质是笛卡尔积集 A × B 的一个子集，而且它是一个特殊的子集，它的特殊性就是单值性，即∀x∈A，有唯一一个y=f(x),使(x,y)∈A×B，这就启发我们，函数实质是笛卡尔积集 A × B 内的具有单值性的一个子集。

师：有了直积的概念，下面我们给出一种特殊的对应，我们称作关系。

定义 设有集合X，Y我们说 f是X与Y之间的一个对应，是说f是 X × Y 的一个子集（即f⊂X×Y ）如果(x,y)∈f 就说y与给定的x对应，对应也称为关系。

师：有此知，

如果f∶X→Y，那么f是X与Y之间的某类对应，当然是 X × Y 中的一个子集，此子集称为f的图形。

师：为什么此子集称为f的图形：

生：二维平面是直积，因(x,y)∈f，而(x,y)是平面上的点，点的运动构成平面图形，所以子集为f的图形。

师：不过要使一种对应成为一个函数，必须具备什么特征？

生：对于集合X中的每一个值，集合Y中都有唯一确定的值与之对应。

师：好！非常好！那么如何用关系，用符号语言来表达呢？

生：......

师:对每一个 x ∈ D (f)， f使其正好对应着一个y，也就是说，一个x要对应两个y，那么这两个y一定应该....

生：相等。

师：对！那么如何用关系来表示呢？

生：若(x,y)∈f，且(x,y′)∈f，则y= y′。

师：非常好！在这里，函数总是指单值对应。

师：结合老师所讲的内容，能否用符号语言给出函数关系说的定义？

（在老师的指点下，同学们给出了函数关系说的定义。）

定义 给定集合X，Y若一切有序数对(x,y)（其中x∈X,y∈Y）的全体X×Y的某个子集f满足条件(x,y)∈ f,(x,y′)∈f：时，有y = y′，则称f⊂X×Y为从X到Y的函数。

师：这个定义的严密性优于先前的函数概念，一方面在于它用集合的语言定义了自变量，因变量，取值范围和它们的法则——关系；另一方面在于该定义中不含有未定义的概念“对应”，而该定义中的“关系”是经过严格定义的。

4.加深对函数概念的理解

由此可见，确定一个函数仍有两个要素：一是它的定义域；二是∀x∈X，都有唯一一个y，使(x,y)∈f，这与第一章的函数定义完全相同，这个函数定义只涉及笛卡尔积集、集合的子集，都是已知的概念，避免了函数概念的集合对应说中“对应关系”一词的不确定性，并使“对应关系”获得了集合论的基础，又使函数与它的直观化——函数图像统一了起来，在第一章约定的有关函数的表示法和有关术语都继续适用，其中X、Y二集可能是子集 R ,R2...,Rn。这个函数定义包括了过去学过的一元函数以及将要学习的所有多元函数。

当X、Y不同情况时的各种函数：

⑴X⊂R,Y⊂R ， 当(x,y)∈f 或y= f(x)， x ∈ X ， y ∈ Y 是我们熟知的一元函数。

⑵设 X ⊂R2,Y⊂R即∀( x ,y )∈X⊂R2，∃z ∈Y 使(x,y,z )∈f ⊂R2×R =R3或z=f(x,y),(x,y)∈X,z∈Y ，这是二元函数。

二元函数 z = f(x ,y)在三维欧氏空间 R3中的点集

称为二元函数的图像，通常它是三维空间中的一张曲面。

二元和二元以上的函数称为多元函数。

例如，在 R3中，长、宽、高分别是 x ,y ,z的立体体积

V是 x ,y ,z的三元函数。

y是n元 x1, x2,...xn的实值函数，它的定义域

将n元实值函数表为 y =f(P),P∈Rn,称为点P的函数，简称点函数。点函数的表示与一元函数的形式一致，且与点P所在的空间维数无关，因此点函数形式简单，又具有一般性，有时为书写简单，将多元函数也写成点函数的形式。

是一元二值向量函数，即我们已知的参数方程。例如，已知的圆的参数方程：

其中r是正常数。

5.教学反馈与启示

通过HPM视角把数学史融入函数概念的课堂教学中，学生不仅解了函数概念的发展历史，借助史料完成对函数概念的集合对应说和集合关系说的再认识，达到了预期的教学效果。

课后学生的反映也比较强烈，从教学过程看，不像以往，在讲函数概念时，学生觉得第一章学过，也不认真听讲，通过数学史融入课堂教学，学生回答问题的主动性和积极性比原来高，学生探究问题的积极性增强。课后对将数学史融入函数概念的课堂教学进行了问卷调查和访谈，绝大部分学生持正面看法，认为激发学生学习兴趣，活跃课堂气氛，增进了对概念本质的理解，不理解为什么在原来所学函数概念的基础上重新给出函数的另一定义，通过介绍函数概念的历史发展，揭示函数各个定义的局限性，这些疑惑便迎刃而解了，学生要求课下教师可以给出与课程相关的数学史资料，以便学生课下学习，同时也增加了学生学习数学史的兴趣。

历史发生原理告诉我们：学生对数学概念的理解过程与数学概念的历史发展过程具有一定的相似性，历史上数学家所遭遇的困难正是学生所经历的障碍。M.克莱因说“历史顺序是教学的指南。”研究函数概念的发展历史可以帮助教师更好地把握教学难点，有助于诊断学生在学习函数概念时的认知困难，从而合理地选择教学手段和方法，以突破函数概念理解的难点。

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