分类讨论思想在高中数学教学中的应用分析

王桂丽

鞍山市岫岩县第三高级中学

分类讨论思想在高中数学教学中的应用分析

王桂丽

鞍山市岫岩县第三高级中学

在高中数学的教学实践中，分类讨论对高中数学课程尤为重要。代数分类讨论主要分为三种：对所求变量的值域范围进行讨论并求解；对自变量的值域范围进行讨论并求解；对因变量的值域范围进行讨论并求解。几何的分类讨论大致分为：动点问题、无附图几何问题等。

分类讨论；自变量；因变量

引言

不同与传统的数学教育，高中代数课程中自变量和因变量都是因为变化而存在，所以分类讨论和高中数学密不可分。而动点问题更作为重点考题，在近年的高考中频频出现。因此，对分类讨论思想在高中数学教学中的应用作出合理化的分析，以便于更好的将分类讨论思想运用到高中数学的教学实践中。

1 、分类讨论的原则

分类讨论的原则主要有三种：

（1）每一级都按照统一标准：例如△=0和△≠0时，求a的取值范围。

（2）分类逐级进行：先对a=0和a≠0进行，再对△=0和△≠0进行分类讨论。

（3）同级互斥，不得越级的原则：例如a=0和a≠0就为互相排斥的两个同级讨论，但不可做越级的分类讨论。

2 、分类讨论思想存在的意义

2.1 分类讨论思想在高中代数教学中存在的意义

例1，若A={x|ax2-2x+1=0}（a∈R）只含有一个元素，求a的取值范围[1]。

解析：因为已知ax2-2x+1=0有且只含有一个实数根，所以讨论分为两种情况：a=0和a≠0。

当a=0时，x=0.5

当a≠0时，由△=0得出a=1，则x=1

综上所述a的取值范围是[0,1]

根据这道例题我们得知，当一个函数中含有两个变量时，因为取值范围的不确定，我们需要用△和题中其他的条件进行分析从而作出分类讨论。若没有分类讨论，则无法求出取值范围。分类讨论在代数的求值和求值域问题是不可缺失的关键步骤，如果缺失则会出现“丢根”的现象，从而导致整体的求值错误。

2.2 分类讨论思想在高中几何教学中存在的意义

例2，若AB=5cm,BC=4cm,求AC的长是多少。

根据题意，有两种情况：

（1）B点在AC两点中间，AC=AB+BC=5+4=9cm

（2）C点在AB两点中间，AC=AB-BC=5-4=1cm

根据例题，若不进行分类讨论，则会出现求解错误。通过分析几何题中点和点的位置关系，从而达到分类讨论的目的，才会使答案更加准确。由此我们得知，若没有分类讨论，则不会把题中各个条件联系在一起做最合理的求解。

3 、分类讨论思想在高中数学教学中的应用

3.1 分类讨论思想在高中代数教学中的应用

3.1.1 概率问题[2]

例3.设集合I={0，1，3，5，7}，选择I的两个非空子集A和B，使B中最小的数大于A中最大的数，则有多少种不同的可能？

解：如B中最小的数为1，则A只有A={0}一种可能。B则有8种可能，3、5、7可以在集合中B，也可以不在集合B中。

如B中最小的数为3，则A有A={0}，A={1},A={0,1}三种可能。则B有4种方法，5、7可以在集合B中,也可以不在集合B中。

如B中最小的数为5，则A有7种可能，则A为A={0,1,3}的非空子集。则B有2种可能，8可以在集合B中,也可以不在集合B中。

如B中最小的数为7，则A有15种可能，则A为A={0，1，3，5}的非空子集。则B有1种可能，B={8}。

综上所述，可能的方法有1×8+3×4+7×2+15×1=49

3.1.2 不等式问题

例4.求能够使不等式（|x|-x）（1+x）＜0成立的x的取值范围。

解：当x≥0时，|x|-x=x–x=0，于是（|x|-x）（1+x）=0，不满足原式，故舍去x≥0

当x＜0时，|x|-x=-2x＞0，x应当要使（|x|-x）（1+x）＜0，满足1+x＜0，即x＜-1，所以x的取值范围是x＜-1。

3.1.3 函数问题

例5.求f（x）=ax2，求函数单调性。

解：若a＜0时，a的偶次幂为正，奇次幂为负。

若a=0或a=1时，函数的值为1。f（a）＞1

若0＜a＜1时，函数f（x）=ax为减函数。f（a）＞0

综上所述，对于一切实数a，f（a）＞0都成立。

3.2 分类讨论思想在高中几何教学中的应用

例6.在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，OA∥BC，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（4，3），点C在y轴的正半轴上.动点M在OA上运动，从O点出发到A点；动点N在AB上运动，从A点出发到B点.两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t（秒），求线段AB的长；当t为何值时，MN∥OC？

解：过点B作BD⊥OA于点D，则四边形CODB是矩形，BD= CO=4，OD=CB=3，DA=3，在Rt△ABD中，AB=√32+42=5。

当MN∥OC时，MN∥BD，

∴△AMN∽△ADB，AN/AB=AM/AD

∵AN=OM=t，AM=6-t，AD=3，

∴t/5=（6-t）/3，即t=3.75（秒）；

4 、结论

在高中数学的教学过程中，教师应该更加合理的利用高中学生已经具备了有关分类讨论问题的实际生活体验这一基础，在解决分类问题的时候，要在关键时刻给予学生指导，让学生知道和明确分类讨论思想的原则和目的，从而锻炼学生对分类问题的独立思考能力和举一反三能力。同一事物按不同的标准则有不同的分类标准，应该是无重复和无遗漏的[3]。在高中的课程教学和实践中，应着重锻炼学生独立分析问题的思想，只有学生能进行独立分析，才能使分类讨论思想在高中数学的解题中发挥到最大作用。本文通过对分析讨论思想的分析，在今后的教学实践中，培养学生多方位、全方面的去看待高中数学中的分类讨论问题，使学生最终养成“具体问题，具体分析”的好习惯。

[1]苏怀堂.高中数学中“分类讨论”的思想方法[J].新课程（中学）,2016,12:117.

[2]王艳青,代钦.高中数学解题教学中的分类讨论策略[J].内蒙古师范大学学报（教育科学版）,2011,12:121-122.

[3]杨建平.浅谈分类讨论思想在中学数学教学中的应用[J].学周刊,2013,20:21.

王桂丽（1981-），女，满族，辽宁鞍山岫岩人，大学本科学历，数学教育研究。