高中数学“用面积定义正弦”的解题研究

邹佳煜

【摘 要】在高中数学学习中，函数模块学习是高考中的重要考点，也是实际学习中的难点。三角函数属于的函数范畴，是高中数学学习中常用的知识点。在三角函数的定义教学中，教师为了让学生能够直观的理解什么是正弦函数，什么是余弦函数，借助的数学图形面积的方式，来定义正弦。该种定义方式既简单又易于学生理解。基于此，本文就高中数学“用面积定义正弦”的解题进行研究。

【关键词】高中数学；用面积定义正弦；解题；研究

前言

以面积定义正弦，在实际课堂上的教学，能够以较少的课时学到比较多的数学知识，思考与讨论空间更加的大。该种教学方法能够使得三角函数、几何、代数之间的联系更加的密切，使得我们在课堂上的数学素养和基本的思维能力有了很大的提升。以面积定义正弦，能够比较好的体现出函数思想，使得高中数学问题能够在短时间内得以解决。

1.菱形面积的正弦算法提出

正弦函数的计算在初中阶段被引出，初中阶段的正弦函数计算主要借助直角三角形中的“对边比斜边”计算得出的对应角的正弦。正弦函数与面积计算之间的联系并不密切。教师在反复研究中，从小学数学课堂中的三角形面积计算公式出发，以单位菱形面积的计算引出正弦函数。并且希望通过这样的数形转换能够使得与正弦函数相关的知识更加便于我们的理解。SinA在初中数形教学中，大部分都应用到的直角三角中，在教学中具有一定的特殊性，而高中的数学教学对于正弦函数的应用主要用于锐角三角形或者多边形中。

设矩形木框ABCD的面积为S，S=AB×CD，其中AB=2，CD=3，则S=2×3×□，□代表的数值为1。假设该矩形木框上被挤压，木框变为了斜框，于是矩形就直观的变为了平行四边形。如下图所示，平行四边形被分为了面积相等，形态相同的六个小平行四边形。并且每一个小平行四边形的边长为1，那么该大平行四边形的高则变为了2×sinα，则大平行四边形ABCD面积=3×2×sinα。

经过由以上数学图形面积的计算，我们可以总结出基于面积的正弦函数概念定义为：边长为1，一个角为α的菱形的面积，就是角α的正弦，并且记sinα=S菱形，注：当α=0°或者180°时，sinα=0。根据正弦函数的定义得出以下基本性质：第一，当α在0°到180°之间，sinα存在定义域，并且非负，当α=0°或者是180°时，sinα=0；第二，sin90°=1；第三，sinα=sin（180°-α）。平行四边形面积计算，根据以上正弦函数面积计算分析得出平行四边形的面积公式，SABCD=AB×ADsinA=absinα。

2.三角形的面积计算

2.1三角形面积计算公式

S△ABC=1/2底×高，當底为b时，高为CsinA，所以S△ABC=1/2bcsinA=1/2acsinB=1/2absinC。以该公式为基础，左右面积公式中的各项同时除以1/2abc，便得到：在任意的三角形中，sinA/a=sinB/b=sinC/c=2S△ABC/abc。

2.2基于三角形面积的正弦应用

对于三角函数的应用，除了可以进行面积的定义还可以解决比较抽象的三角问题。例1，∠α>∠β>0，∠α+∠β<π，试证明sinα小于sinβ。当我们面对这样的问题时，会觉得这样的习题比较抽象，无处下手，更不能提证明角与角之间的关系了。在课堂上老师为了让问题更加的直观，将该两个的角放在同一个三角形ABC中进行比较，该图形的顶角为α-β的等腰三角形。进行角度的比较。如下图：由于∠α>∠β>0，所以设定α-β角，为了明确出α角，以下图的方式设定β角，角A=α-β+β=α，由面积公式能够计算出工1/2AD。ACsinα>1/2AD。ABsinβ，由图形中AB=AC，得出Sinα>sinβ。

例2，三角形ABC中，∠A的角平分线为AP，证明三角形中AB/AC=BP/CP。

证明过程为：BP/CP为三角形的边BC上的两条线段的比值，由于该两条线段多对应的角度相同，并且在三角形中共同一个高。因此，可以借助正弦求三角形面积的方式，通过三角形面积来比较二者的长度。则有：BP/CP=S△APB/S△APC=1/2AB·AP·sinα与1/2AC·AP·sinα的比值，即等于AB/AC。最终得出结论AB/AC=BP/CP。

3.“用面积定义正弦”的意义与经验总结

基于“用面积定义正弦”的教学方式在高中数学教学中应用，使得我们的数学思维有所开拓。

3.1教学意义

基于面积定义正弦的教学方式在高中数学课堂上的应用，具有较为明显的教学作用。面积与正弦函数之间的转换，实际上是一种的形与数的结合，基于数形结合的教学思想在高中数学教学中的应用，能够化繁为简，将书本中的难点文字叙述部分转化为图形，化抽象与具体，使得学生在学习中能够清晰的理解书本中的概念。三角函数的不同转换知识对于我们来说其难度比较大，数学概念大部分比较抽象，而概念教学是数学教学开展的基础。但是很多学生在高一数学学习的第一环节出现困惑。这是由于教材上的概念知识点介绍简单，采用的都是总结性语言，当这些语言应用到实际的习题中，有的学生难以理解。而将数形结合的模式应用概念教学中来，定理等都一目了然，对于我们接下来的学习有很大的帮助。以高中三角函数性质教学为例，进行数形结合的分析：

求sinx<的角的集合：

教师通过单位圆教学方法能够让我们明白一个简单的圆能够解决数学教学中的很多难题，实现答案能够一目了然。在简单的数形结合教学中，能够寓教于乐，丰富课堂教学形式的基础上，提升了我们对于数学多元化解题的兴趣。

3.2从教师课程设置上所得到的启发

第一，教学目标设定。该部分的教学内容为“认识与理解三角函数的正弦函数”，从已经学到的三角形面积的计算公式出发，以单位菱形面积的计算而引入正弦。在实际教学中，老师借助比较直观“单位菱形面积”，引导我们去理解定义的抽象难懂的正弦函数。课堂上很多小伙伴对于面积与函数之间的相互转换难以理解，因此本节课的教学重点在于教师如何使得图形面积的教学过渡到的正弦函数中。

第二，教学安排。教师带领我们去认识什么是正弦，去解

决单位菱形面积，以及如何定义单位菱形。然后对正弦的概念进行在理解，通过矩形的变形，变为菱形，教师引导学生正确认识面积折扣这一问题，从而真正的引出正弦函数的应用。

第三，对正弦函数性质的探究，通过单位菱形面积的变化，我们能够轻松的总结出菱形的基本性质，与三角形、平行四边形等相互结合。

4.结论

综上所述，SinA在初中数形教学中，大部分都应用到的直角三角中，在教学中具有一定的特殊性，而高中的数学教学对于正弦函数的应用主要用于锐角三角形或者多边形中。基于“用面积定义正弦”的教学方式在高中数学教学中应用，与传统数学教学相比， 能够更加的便于我们理解数学问题。将数形结合的模式应用概念教学中来，定理等都一目了然，对于我们接下来的学习有很大的帮助。

【参考文献】

[1]王文俊.高中阶段“用面积定义正弦”教学初探[D].华东师范大学，2008

[2] 王成营. 数学符号意义及其获得7能力培养的研究[D].华中师范大学，2012

[3]杨姗.初中数学课程结构性改革的可行性研究[D].广州大学，2011

[4]袁思情.中国、日本、美国和英国高中数学教材三角学的比较研究[D].华东师范大学，2012

[5]李苹芳.现有初中数学体系与初等数学体系的整合研究[D].广州大学，2013

[6]韩龙淑.数学启发式教学研究[D].南京师范大学，2007