泰勒公式在不等式证明中的应用

孟丽君

【摘 要】泰勒公式在数学分析里有着重要的地位，并且可以给一些高数题目的求解带来便利。本文介绍了泰勒公式在一般不等式、积分不等式、导数不等式方面的应用，总结出泰勒公式在证明一般不等式、积分不等式、导数不等式的思路。

【关键词】泰勒公式；不等式

一、引言

多项式函数是各类函数中最简单的函数，泰勒公式建立了一般函数与多项式函数的联系。研究泰勒公式，对于我们解决许多数学题目有重要意义。泰勒公式的重要结论如下：

定理1 若函数f（x）在点x0存在直至n阶导数，则有f（x）=Tn（x）+o（（x-x0）n） （1）其中Tn（x）=f（x0）+f′（x0）（x-x0）+（x-x0）2+…+（x-x0）n为泰勒多项式，而o（（x-x0）n）为佩亚诺型余项，（1）式为带有佩亚诺型余项的泰勒公式。

定理2 若函数f（x）在[a，b]存在直至n阶连续导函数，在（a，b）存在n+1阶导函数，则对任意给定的x，x0∈[a，b]，至少存在一点ξ∈（a，b），使得

f（x）=Tn（x）+（x-x0）n+1 （2）

其中Tn（x）同定理1相同为泰勒多项式，而（x-x0）n+1为拉格朗日余项，（2）式为带有拉格朗日余项的泰勒公式。

一些文献对泰勒公式的应用，如求函数的近似值、求函数的极限、求函数在某点的高阶导数值等，本文着重介绍泰勒公式在证明不等式中的应用，帮助学生系统掌握这部分知识。

二、在证明一般不等式方面的应用

泰勒公式在证明一般不等式的题目类型条件约束较低，一般题目中函数只要二阶或二阶以上可导，就可以考虑使用泰勒公式。

例1（哈尔滨工业大学，北京科技大学）设f（x）在[a，b]上二阶可微，f″（x）<0。试证：

?a≤x1kif（xi）

证明：因f（x）在[a，b]上二阶可微，从而f（x）用泰勒公式展开到二阶

f（x）=f（x0）+f′（x0）（x-x0）+（x-x0）2

泰勒公式证明题目的时候要选择恰当的x，x0，本题中选择x=xi，x0=kixi

从而上式为：

f（xi）=f（kixi）+f′（kixi）（xi-kixi）+（xi-kixi）2

将ki乘上式两端，然后n个不等式相加，得出：

kif（xi）

kif（xi）

由已知条件ki=1，可以得出：

[kif′（kixi）（xi-kixi）]=f′（kixi）[kixi-ki（kixi）]=0

从而kif（xi）

（上接第44页）

例2（北京师范大学）设f（x）有二阶导数，f（x）≤[f（x-h）+f（x+h）]，试证：f″（x）≥0

证明：因f（x）有二阶导数，从而f（x-h），f（x+h）用泰勒公式展开到二阶

f（x-h）=f（x）-f′（x）h+h2+o（h2）

f（x+h）=f（x）+f′（x）h+h2+o（h2）

上面两式相加并除以2，得出[f（x-h）+f（x+h）]=f（x）+h2+o（h2）

由已知条件f（x）≤[f（x-h）+f（x+h）]

上式可以得出h2+o（h2）≥0?+≥0

令h→0取极限得出f″（x）≥0

通过例1，例2可以总结出用泰勒公式证明一般不等式的解题思路：（1）按照已知条件，通常条件的最高阶数为泰勒公式展开的最高阶数；（2）泰勒公式展开后要选择适合的，关于的选择需要一定解题经验，应该加强这方面的积累；（3）根据已知条件对泰勒展式进行适当缩放。

三、在证明定积分不等式方面的应用

泰勒公式在证明定积分不等式的题目类型与证明一般不等式的条件相同，条件约束也较低，一般题目中函数只要二阶或二阶以上可导，就可以考虑使用泰勒公式。

例3设f（x）在[a，b]上单调增加，且f″（x）>0

試证：（b-a）f（a）

证明：利用定积分的性质，容易得出（b-a）f（a）

因f（x）在[a，b]上二阶可导，从而?t∈[a，b]在点x用泰勒公式展开到二阶

f（t）=f（x）+f′（x）（t-x）+（t-x）2

利用已知条件f″（x）>0，可以得出f（t）>f（x）+f′（x）（t-x）

分别取t=a，t=b，带入上式得出f（a）>f（x）+f′（x）（a-x）

f（b）>f（x）+f′（x）（b-x）

将上面不等式组左右相加，得出f（a）+f（b）>2f（x）+（a+b）f′（x）-2xf′（x）

两边同时求定积分[f（a）+f（b）dx>2f（x）dx+（a+b）f′（x）dx-2xf′（x）dx?[f（a）+f（b）]（b-a）>2f（x）dx+（a+b）[f（b）-f（a）]-2xdf（x）?[f（a）+f（b）]（b-a）>2f（x）dx+（a+b）[f（b）-f（a）]-2xf（x）│+2f（x）dx?[f（a）+f（b）（b-a）>4]f（x）dx+（a+b）[f（b）-f（a）]-2bf（b）+2af（a）?2[f（a）+f（b）]（b-a）>4f（x）dx?f（x）dx<（b-a）

综述可得：

（b-a）f（a）

通过例3可以总结出用泰勒公式证明定积分不等式的解题思路：（1）按照已知条件，通常条件的最高阶数为泰勒公式展开的最高阶数；（2）泰勒公式展开后要选择适合的；（3）根据已知条件对泰勒展式进行适当缩放；（4）对（3）所得的式子两边同时取积分，解积分通常可以得出结论。

注意：上述步骤（2）与（3）可以互换。

四、在证明导数不等式方面的应用

泰勒公式在导数不等式方面的题目类型与上述条件相同，一般题目中函数只要二阶或二阶以上可导，就可以考虑使用泰勒公式。

例4设f（x）在[0，1]上有二阶导数，0≤f（x）≤1时|f（x）|≤1，

|f″（x）|<2试证：当0≤x≤1时，|f′（x）|≤3。

证明：因f（x）在[0，1]上二阶可导，从而?t∈[0，1]在点x用泰勒公式展开到二阶

f（t）=f（x）+f′（x）（t-x）+（t-x）2

分别取t=0，t=1可得：

f（1）=f（x）+f′（x）（1-x）+

（（1-x）2

f（0）=f（x）+f′（x）（-x）+

（（-x）2

上面方程组左右两端相减，可得：

f（1）-f（0）=f′（x）+（1-x）2-x2

?|f′（x）|≤|f（1）|+|f（0）|+（1-x）2+x2≤2+（1-x）2+x2≤2+1≤3

例5设f（x）在[a，b]上有二阶导数，f′（a）=f′（b）=0，试证：?ξ∈[a，b]，使得|f″（ξ）|≥|f（b）-f（a）|

证明：因f（x）在[a，b]上有二阶导数，从而f（x）用泰勒公式展开到二阶

f（x）=f（x0）+f′（x0）（x-x0）+（x-x0）2

取x=，分别取x0=a，x0=b，题目给出f′（a）=f′（b）=0，从而得出：

f（

）=f（a）+

（

）2 ξ∈（a，

）

f（

）=f（b）+

（

）2 η∈（

，b）

上面方程組左右两端相减，可得：f（b）-f（a）+[f″（η）-f″（ξ）]（b-a）2=0

故≤（|f″（η）|-|f″（ξ）|）

取ξ=ζ |f″（η）|≤|f″（ζ）|

η |f″（η）|>|f″（ζ）|

从而得出≤[|f″（η）|+|f″（ζ）|]≤|f″（ξ）|

通过例4，例5可以总结出用泰勒公式证明导数不等式的解题思路：（1）按照已知条件，通常条件的最高阶数为泰勒公式展开的最高阶数；（2）泰勒公式展开后要选择适合的x，x0；（3）根据所证结论对泰勒展式的一阶导数或二阶导数等项进行适当缩放即可。

本文介绍了泰勒公式在证明一般不等式、积分不等式、导数不等式方面的应用，通过介绍我们可以看出泰勒公式在证明不等式时，思路比较清晰，易于操作，为我们解决一些比较复杂的不等式打开了新的思路。同时泰勒公式在高等数学其他解题方面也有许多便利，值得我们后续进一步研究。

【参考文献】

[1]华东师范大学数学系编.数学分析（第3版）[M].北京：高等教育出版社，2006

[2]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法（第2版）[M].北京：高等教育出版社，2006

[3]同济大学数学系编.高等数学（第7版）[M].北京：高等教育出版社，2015

[4]龚冬保.泰勒公式在解题中的妙用[J].高等数学研究，2008.11：64-65

[5]谭康.泰勒公式及泰勒级数之妙用[J].高等数学研究，2010.5：11-12