代数的认知与应用教学研究

郭薇

（安远县东江源小学，江西 赣州 342100）

[摘 要] “数”与“代数”是解决基本数学问题必不可少的支柱。从小学四年级起，代数已经走进数学教材，丰富着学生的数学方法和思想。如何理解、运用好代数成为学生学习的一大瓶颈。从数学学习的角度看，学生需要深入了解代数，运用代数解决数学难题；从培养创新思维的角度看，学生以代数形式和思想为基础，进行自主学习，不断扩展自己的认知，建立数学知识之间的联系。

[关键词] 代数理论；数学思想；教学研究；功能作用

随着数学问题的复杂化，小学高年级部分问题需要利用代数才可以得到快速解决。从广义上看，代数涉及数、图形、概率等领域；从狭义上看，代数可以解决同时存在两个变量的问题，可以将问题的求解过程进行反向思维，利用代数的便捷性将求解思路简化。从数学学习的角度看，学生需要深入了解代数，运用代数解决数学难题；从培养创新思维的角度看，学生以代数形式和思想为基础，进行自主学习，不断扩展自己的认知，建立数学知识之间的联系。小学高年级学生对基本数学知识的理解和运用达到了一定高度，具备了研究代数的能力。因此，教师应利用好课堂时间，增强学生对代数的认识和应用能力，系统性地解决复杂问题。

一、小学阶段的“代数理论”

小学生对代数的理解一般停留在“x、y”等感性符号的层次上。对小学阶段的整个代数体系所知甚少，甚至很多教师没有向学生明确提出代数概念。根据实际教学情况，学生将精力集中在代数应用上，而没有深入思考和研究自己的学习方法和应用原理，使得学生无法及时运用代数知识解决问题。简单地说，代数是利用特殊符号指代变量，利用变量的特性简化整个求解思路和过程。通过对高年级教材内容的整合会发现，代数用来表示公式、运算规律、方程式、不等式以及简单函数。在学习“代数”知识的过程中，学生对“数”的认知提升了一个层次，培养了学生的符号意识和估算能力，将现实问题抽象为数学问题或数学模型，利用代数进行探究性思考。

二、小学阶段“代数”知识背后的数学思想

代数知识和代数理论是潜藏于数学体系之中的，涉及多方面的知识，具有分散、灵活的特征。把握好代数教学的基础是弄明白代数知识背后的数学思想。从本质上去了解代数在数学学科中的作用，才能更加准确地把握代数教学课堂。

1.转化思想

数学是为了解决现实问题而产生的科学，数学家布鲁纳提出：“代数就是将已知数与未知数按照数学规则排列，使得未知数成为已知数的表示方式。”从这句话中可以体会到代数理论中高深的转化思想，这种转化思想体现在数学问题的方方面面。

例如：师生十分熟悉的交换律、结合律、分配律等运算法则的表达方式为：a+b=b+a，（a+b）+c=a+（b+c），（a+b）c=ac+bc。如果采用文字或者数字表示这些法则，学生会陷入疲惫之中，而采用代数符号表示后，这个运算法则简洁明了。汉字到符号的转化、具体的现实问题到抽象的数学模型都是代数理论转化思想的具体体现，帮助学生快速理解数学问题的处理方法，形成代数思维的意识。

2.替代思想

“数”是抽象的概念，“图形”是具体的概念。利用“图形”代替“数”，利用具体的概念代替抽象的概念用于帮助学生理解数学问题。一般情况下，我们利用抽象的符号来代替具体内容，抽离出问题中的数学模型，方便找出条件之间的关系，但是，在具体的数值运算中，更需要培养学生“图形”代替“数”的能力，提高计算的准确性和正确性。

3.逆向思维思想

在高年级数学教学中，代数知识得以运用最广泛的部分为一元一次方程。在方程中，未知项不再是直接求解的对象，转变为建立数学等式的一个条件，利用数学等式上的关系进行反向求解。这种反向求解的思维方式和方法将逆向思维运用到了极致。学生在运用方程方法求解问题时，先找组成等式的条件，然后将未知项以x、y的符号形式进行带入，最后，利用等式关系得出最终的结果。

三、代数知识在教材中的具体应用

以上两个章节从代数理论和代数理论背后的思想两个层面对代数进行了全面的分析和讲解。代数的特征和思想并不能通过直接讲解使学生获得深入的体会，还需要结合教材中的具体内容进行应用分析，让学生从实践中体会代数数学思想的优越性。

1.“简易方程”中的代数应用

按照教材的讲解顺序，从代数意识的培养做出，比较月球和地球举重的数量关系，比较两个人的年龄关系，定义周长、面积的表达方式；然后，提出了等式和等式关系概念，让学生体会问题包含的内在等价公式；紧接着，提出方程概念，将代数、等式、数值运算法则等内容应用到组建方程的体系中，最后，利用方程解决现实问题。从整个知识体系可以看出，方程是由代数思想发展而来的，为学生解决现实应用问题提供了新途径。

为了将方程、代数、数、图形建立其紧密联系，让学生对数学知识形成全面理性的认识。教师应该抓住教材中的资源，进行深入讲解和通透，确保学生数学知识的联合、统一。

2.将代数应用于“运算结果奇偶性”的判断

小学高年级对数的分类具有多种标准，包括奇偶性、质数与合数等。对数的分类方便了数学计算的过程，对处理较大数值的乘除运算具有很大帮助。在教学中发现，学生对数的认知不够深刻，对自己明显的计算错误无法进行及时有效的检验。如果将代数引入其中，就可以帮助学生进行及时有效地检验。

通过运用知识巧妙地帮助学生得出“偶偶相加得偶，奇奇相加得奇，奇偶相加得奇”的结论。在数学中还有更多的结论可以通过代数进行推算出来，而不需要学生死记硬背。代数知识可以帮助学生从抽象的层面理解數学结论，重新认识数学教材中的法则和规律。教师应引导学生不断探索数学世界的潜在规律，培养学生思考问题的能力，帮助学生快速成长。

3.符号在数学知识串联中的应用

小学高年级数学知识具有总结性和延伸性，同时，淡化了数学知识板块之间的界限，增加了数学知识之间的联系。未知项代号可以帮助学生将不同知识串联起来，实现不同板块之间的沟通。其中最重要的部分是数学知识与方程关系的建立。

例如：在六年级接触到的“百分制”知识。虽然百分制的形式是x%，但其与小数、分数的关系紧密，大多可以相互替代表达。当问题中涉及百分制数值时，可以将其转化为分数，分出分子项和分母项，利用等式关系求出分子，得到所求比例。此外，六年级教材中延伸了坐标内方向的表达，让学生根据文字描述，分析出坐标内的实际情况，确定好两者之间的位置关系。在文字转化为图形的过程中，需要根据已知条件建立其对应等式，将未知项与已知内容排列起来，进而求解出最终的答案。在小学数学知识总结和归纳阶段，教师应该淡化知识板块的界限，从组建整个数学体系的角度上，分析各部分知识的具体使用方法。代数可以将数学中大部分知识串联起来，从逆向思维的角度去重新认识学过的内容，重新构造自己的学习框架。

小学数学代数知识和理论可以帮助学生深入理解数学法则、概念，探索数学运算中的规律，逆向思考数学问题，甚至利用方程式将加减乘除、分数和百分数、概率和数值关系等进行整合，进而解决数学中的复杂问题。教师应该认识到代数知识和思想的重要性，不断渗透理论背后的数学思想，让学生的数学素养得到有效提升。

参考文献

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责任编辑 王 慧