挖掘教材，树立主体；改进教法，探究学习

李锁存

[摘 要] 近年来教学不断变革，数学命题也愈来愈趋向于以考查学生的能力立意，大训练量的传统教学模式已经渐行渐远.从教学角度来说，如何挖掘教材功效，树立学生主体，改进落后方式，加强学生探究成为教学新的方向.

[关键词] 教材；主体；教法；探究；数学；能力立意

众所周知，当下的数学教学和高校招生都体现了一个重要的教学理念——学生的能力为主.要体现学生的能力为主，我们今天的教学势必需要做出大量的变革，不能再以大容量训练作为唯一的教学方式.课程标准中指出：要树立以学生为主体的教学，要积极引导学生建构知识形成的过程，努力培养学生主动探究的能力. 用通俗的语言解读，即数学教学要从基本教材入手，充分挖掘、树立主体、改进教法、形成探究，通过理念上的改变来实施课堂教学的转变.

挖掘教材，构建素材

以现行教材为基础，以数学新大纲为核心，以探究为理念，从挖深教材的研究功能入手，对原有教材进行适度开放、拓展、引申、整合，构建起研究性学习的教学素材和研究课题，提升教材的研究性功能和思维空间.

以新教材中必修内容为主，把教材的重点内容、重要思想，进行拓宽、引申作为研究课题；以教材知识、方法为基础，整合其他学科知识，把理科综合问题作为研究素材，如抛物线光学性质，向量在力学中的应用等.

案例1：人在镜子中的像

把两面镜子相对而立，请你站在其中，你会看到有许多肖像，它们的位置呈现出什么规律？你试过吗？你能把这一事实数学化吗？若把问题的对称性改为中心对称又是怎样的结论？你能设计一个物理模型吗？

评析：这个问题贴近生活，实际操作容易，物理现象的数学模型简单，从物理模型中对现象的观察、发现，到数学对称模型的建立，遵循的是先观察人像的规律再数学化计算. 当把数学的轴对称模型改为中心对称后，由数学模型让学生想象物理模型是否存在，该怎样设计. 回到实际，所用的是数学与物理光学的综合知识，认知由感性到理性，又回过来指导实践.

在对现有教材内容的探究学习活动中，生成新的研究视角，进行再探究.

案例2：抛物线很远处的奥秘

讨论过点P（-1，2）的直线与抛物线y2=2x的交点个数. 利用画图向学生展示，当直线斜率趋向于0时，感官上直线与抛物线仅有一个公共点，但是利用代数运算可知有两个公共点，这是为什么？笔者没有直接给出答案，只是问还有一个交点在哪里，抛物线在很远处是一种什么状态，圆、椭圆、双曲线在很远处的状态是怎样的，课本是用什么来说明它的，请大家想一想办法来探究抛物线在很远处的奥秘. 要求学生在课后三五成组进行讨论、研究，写出研究结论，并相互交流、讨论、点评. 有学生用证明无界性来否定原来猜测抛物线在很远处是封闭图形；有学生受双曲线在很远处的状态是由渐近线来描述的，提出抛物线的渐近线的存在性，然后模仿课本证明双曲线的渐近线的方法说明抛物线的渐近线不存在；有学生设抛物线上任一点P（x，y），计算OP的斜率，用极限趋向于0来刻画很远处的状态；也有学生猜想抛物线在很远处“很平”，并设抛物线上任一点P1（x，y1），P2（x+1，y2），用P1P2的斜率趋向于0来说明.

评析：问题在学生疑惑、急于想知道的情况下提出，有利于激起学生研究的欲望. 问题难度适当，具有开放性，学生具备解决问题所需圆锥曲线的知识和极限思想，对提高学生的理解能力和创造思维能力具有重要价值.对意见的条数、意见的合理性、解决方法的新颖性和原创性进行讨论，是对学生参与情况的一个评定，是对探究过程的一个评价.

改进教学，树立主体

教师要立足课堂，从改进教学方式入手，建立起师生间的对话、交流、互动、合作机制，构筑起研究性学习的教学平台，提升数学课的研究成分和教育价值.其目的是要在对话中让教师学会倾听，学生学会选择、怀疑和批判；在互动中使学生的主体意识被唤醒，学生的心身潜能被激发；在实践中不断地探究和体验；在合作交流中不断地生成问题，提出问题，解决问题；在探究活动的过程中发展思维，发展自我.培养学生的主体意识是符合课程理念的，即通过教师合理的教学设计，调动学生参与的积极性，进而形成其认知规律的过程与方法.

在课堂教学中，要通过揭示知识背景，创设问题情景，让学生自主探究、主动建构，生成新的概念、法则、定理、问题，要在问题的解决过程中让学生去实践、去体验.

案例1：立体几何中异面直线距离概念形成的研究性学习

教师：请大家回顾一下，我们学过的有关距离的概念有哪些？它们有什么特点？

学生：有两点之间的距离，点到直线的距离，两平行线之间的距离，它们具有垂直的特点.

教师：为什么要用垂直线段定义距离？还有其他办法吗？

学生们互相讨论后说垂线段最短.

教师：大家再一起想一想，互相帮忙动手做一个模型，判断一下在两条异面直线上是否也存在这样的两点，它们间的距离是最短的？如果存在，具有什么特征？

学生经过共同探索，得出如果这两点的连线段和两条异面直线都垂直，则其长是最短的且线段唯一存在. 在此基础上，学生自然地形成了异面直线距离的概念.

评析：从研究原有距离概念的共性、本质特征出发，提出异面直线距离的问题，让学生主动去构建，在动手设计模型中去直观感知，在距离概念的相互联系上作理性思考. 教师的介入只起组织作用，学生通过自主探究、合作交流，概括能力得到了训练，体会了知识如何通过特殊到一般的发现过程，这种不同于灌输的教学方式，是教学改进的重要前提.近年来，章建跃博士多次在公开场合呼吁中学数学教学需要多给学生一些思考，让学生多一点探求，在教学中发展思维成为教学的主要导向.

案例2：对数函数图像和性质的研究性学习

教师：前面我们学习了指数函数、对数函数的概念及对数运算.大家觉得今天在对数函数一节要研究些什么？怎样研究？

（根据学生的反映，适度介入，可启发性地再问学生指数函数是怎样研究的，然后分小组讨论，请小组代表上台讲演.）

学生的兴致很高，纷纷上台，有的从对数的意义讲了定义域，有的用描点法画了几个具体的具有代表性的函数图像，有的从图像说了一些函数性质.尽管不那么完整，笔者还是给予了充分的肯定，应该说学生已有了研究的欲望，初步掌握了函数的研究方法.笔者追问是否还有其他办法来画对数函数的图像（因为学生第一次用对称几何法画函数图像，可根据学生反映的情况，介入启发性地问对数与指数是什么关系）.

教师：大家能用对称几何法画出图像吗？观察图像，对比指数函数图像的性质列出对数函数图像的性质.

学生完成后，笔者把学生所画、所列的典型结果用实物投影仪投影在屏幕上，并请学生补充评说，再阅读课本，总结反思自己的探究过程和结果.

评析：在高一新教材学习了指数函数后，考虑到对数函数与指数函数的教学内容、探究方法的联系与相似性，而高一函数是起始阶段，研究性学习也有个层次性问题及循序渐进的原则，因此课堂上请学生从联系的角度、对比的方式入手进行研究性学习. 教师介入的目的是提出问题、启发诱导. 学生通过探究、交流、评价、调整，再探究、再评价，学会了从图像角度研究函數性质的一般方法，体验了探究的过程.

挖掘教材、树立主体、改进教法、加强探究成为当下数学教学重要的方式方法，从愈来愈注重能力立意考查的今天，教师从观念上要更新、学生从学习理念上要改变，一味地注重传统的训练模式将无法在创新能力上获得突破，唯有不断更新观念、改变陈旧教学方式，才能提高教学有效性.