高等数学不等式证明教学体会

文/刘启才，江西工程学院

1 用拉格朗日定理

例1、证明 当 x＞ 0 时,ln（1+ x ）＜x

证明

设f（x ）= ln （ 1+ x）,f（x ）在［0,x］上 连 续,x＞0在（ 0 ，x）可 导 ，由拉格朗日定理 得

且f ′（x）=1＜1,即f ′（α）=1＜1

1+x 1+α

故当x ＞0时

例2，证明

当a＞b＞0, n ＞1时,

证明 （）1,＞=nxxfn设

则 f （ x在 ）［a,b ］上满足拉格朗日条件

∴当 a ＞α＞b＞0,n＞1时，有

2 利用单调性证明

例3、证明 当 x＞ 0 时,ln（1+ x ）＜x

证明

设f（x）= x -ln（ 1 + x）,则 f（x）在［0,+ ∞）连 续,在（0， + ∞）可导，且有

例4、证明 当 x ＞ 1 时,ex＜ex

证明

设f（x）= ex-ex,则f （x）在［1,+ ∞）连 续,在（1，+ ∞）可导，且有

f′（x）=ex-e＞0,x＞1所以，函数f（x）在［1.+ ∞）上单调增加，故x＞1时，f（x）＞ f（1）= 0 ,即ex＜ex.

3 利用凹凸定义和判定

凹凸定义

设f （x）在区间I连续，对I内任意x1,x2恒有

则称f（x）在 I 上 是凹的（或 凸 的）.

证明 设 f（x）= ex,则 f （x）在 R 连续,可导

且f′（x）= f ′（x）= ex＞o则f（ x）在R上是凹的。

例6、证明 0,0,＞＞≠yxyx当

证明 设 f（x）= x ln x ,x＞0

即当x ＞0,y＞0,x≠y时有

4 利用定积分证明

例7、 设 f （ x ）在［a,b ］连 续 ，f（x ）＞0

证明：由题设和积分中值定理知

[1]国家级规划教材《高等数学》同济大学数学系编（第七版）.

[2]高职高专学校教材上海高校《高等数学》编写组编《高等数学》（第六版）.