对两道柯西不等式问题的困惑与解惑

广西南宁三中(530021) 王强芳

对两道柯西不等式问题的困惑与解惑

广西南宁三中(530021) 王强芳

笔者在竞赛辅导时选讲了如下题目,

分析1 由于三个被开方数的和是常数,可考虑直接使用柯西不等式,则

证明失败!

分析2 如果将变为这时后面部分式子的三个被开方数的和也是常数,由柯西不等式得

证明成功!

分析3 如果考虑后面两项利用关系,则得

分析4 如果将原式子变为由柯西不等式

上面几种方法中,第一种是直接使用柯西不等式,结果失败了,后面三种都是局部使用柯西不等式而保留变量x,最后利用函数的单调性使得证明成功!为什么会出现这些问题?但是如果我们作以下的变形再直接使用柯西不等式会出现：

分析5由柯西不等式

这种证明方法就成立!这就是我们解这道题的困惑!

题目2(2009联赛15)求函数的最大值和最小值.(先讨论最大值的情形)分析1直接使用柯西不等式,则有

分析2由柯西不等式

即y≤11.当且仅当4x=9(13-x)=x+27,x=9y取得最大值11.显然11＜.两种解法结果不同,至少有一个是错误的！当我们对三个根号配不同的系数且保证三个被开方数的和是常数,肯定会得到不同的结果,究竟哪一种解法是对的呢?下面通过对题2的解答来回答这个疑问.

证法1 由柯西不等式,考虑正数λ,µ使得：

等号成立的充要条件是

由②消去x得

为使得 ①的右端与x无关,令1-λ+µ=0,可得到满足 ③的一组整数解λ=3,µ=2,将它们代入 ①得到y2≤121,即y≤11.由柯西不等式等号成立的条件得4x=9(13-x)=x+27,解得x=9,故当x=9时等号成立,故y的最大值是11.

用同样方法可处理题1而不会犯错误!而前面解法1失败原因在于取最值时,当不等式取等号时所得的方程中,该方程无实数解.

从以上两个问题的解答中,用柯西不等式解答其实际上都是构造两列数(即构造两个已知向量,并且每个向量的模都是定值),但构造的形式不同导致其结果就不同.如果遇到类似的问题要用柯西不等式解题,怎么配系数?有什么规律?上面使用的配方法已经回答了这个问题.

当然,题目2还有下面的方法.比如,

证法2 易见,y(x)的定义域为[0,13],并且

显然y′在定义域内单调递减,即y′在定义域之内至多有一个零点.又x=9时,y′=0即函数只有唯一的驻点x=9.比较x=0,x=9,x=13时的函数值,知x=0时,;当x=9时,y=11;当x=13时,而.所以, y的最小值为;y的最大值为y(9)=11.

以下我们再来考虑题目1的其它证法.

证法2 由柯西不等式得：

从而,

证法3取λ,µ∈R+且满足λ+2µ=3,则由柯西不等式得

证法5

又由基本不等式知

由上文的例子可见,在应用柯西不等式解题中,常常由于选择系数不当而导致错误,而配方法可以引领我们走出误区!