方阵特征值的若干问题研究

摘要：方阵的特征值在理论研究和工程技术中具有重要作用，本文针对特征值研究中的

系列问题，首先归纳了常见矩阵的特征值的性质，其次结合例子给出了方阵的线性

表达式求解特征值的对应法， 最后讨论了非线性表达的特征值求解思路以及重数变

化等问题。

关键词：方阵；特征值；线性；非线性

O151.21

与一般矩阵相比，方阵不仅具有秩的概念，还具有特征值和特征向量的概念。特征值和特征向量，在理论计算中可用于行列式求解、方阵的对角化，在某些工程问题例如振动问题、识别技术也有重要应用。因此，对给定方阵求其特征值就显得尤为重要。通常情况下，当方阵的内部元素已知时，可借助定义计算其特征值。而当方阵尽管已知但内部元素不明确时，主要借助性质完成计算。现行的多数《线性代数》教材[1-4]，很少对性质系统归纳，尤其是关于方阵的线性表达式的特征值计算，并没有从理论上严格推导。另外，关于方阵的非线性表达式的特征值、以及特征值重数的变化等问题也并未深入讨论。本文首先系统归纳了特征值的有关结论，其次对生成矩阵的线性表达式推导其特征值，并结合例子给出了计算特征值的对应法，最后通过实例简单分析了非线性表达式的特征值研究思路以及对应法的重数变化问题。

四、结论

特征值和特征向量在理论研究和工程问题中具有重要应用，给定某矩阵的特征值后，借助对应法可以讨论衍生矩阵的线性表达式和非线性表达式的特征值，前者基于现有的重要性质，后者取决于具体形式根据性质进行推导。根据实际需要，还应注意特征值计算过程中的重数可能引起的变化问题。

参考文献：

[1]同济大学.工程数学：线性代数（第5版）[M].北京：高等教育出版社，2007

[2]吴赣昌.线性代数[M].北京：中国人民大学出版社，2011

[3]杨萍，敬斌.工程数学（上）[M].西安：西安电子科技大学出版社，2015

[4]刘慧.线性代数[M].北京：化学工业出版社，2000

作者简介：赵伟舟，1977.10，男，陕西长安人，硕士研究生，讲师，研究方向：数学教育，圖像分析与处理