如何突破一元一次方程的应用题

李春燕

摘 要：当下很多学生害怕学习一元一次方程应用题，本文从心理方面和知识、方法方面指导学生，帮助学生准确无误地解决一元一次應用题，为后续的二元一次方程组应用题以及分式方程应用题做铺垫。

关键词：学生 应用题

很多七年级学生对学习一元一次方程应用题感到很恐惧，大部分学生一遇到题目就感到头痛，无从下手，甚至是九年级的学生也会有这种现象。初中三年的数学学习基础始于七年级，对于刚升上七年级的学生来说，从小学的形象应用题到抽象应用题这个过渡期，争取在七年级第一学期末突破应用题，这样，七年级的学生升至八、九年级后，至少可以减轻学生对应用题的恐惧感。前苏联教育家苏霍姆林斯基提出“一个好的教师，是一个懂得心理学和教育学的人。”因此，我从心理和知识方法两方面对学生进行指导，双管齐下。

一、心理方面的指导

伟大的前苏联教育家苏霍姆林斯基提出“教育者应当深刻了解正在成长的人的心灵……只有在自己整个教育生涯中不断地研究学生的心理，加深自己的心理学知识，才能够成为教育工作的真正的能手。”我们的首要问题是谈化学生对应用题的恐惧感。从难度上看，小学的应用题涉及量较小，他们在小学阶段已经学习了一定类型的应用题，涉及到工程、行程、数量、增减量、平均数等类型的应用题，小学阶段是学习用算式解决应用题，而上了七年级，要求用一元一次方程解应用题，初中的应用题涉及量较多，范围广，实用性强，无形中增加了应用题的难度。另一方面，八九年级继续学习用方程解应用题，七年级的应用题学习是在初中三年的应用题学习起着承上启下的作用。因此，我及时做好他们的思想工作，告诉他们初中三年都要求学习用方程解同样类型的应用题，让他们明确宁愿一年辛苦总比三年辛苦划算得多，鼓起勇气克服解应用题的难点，题目越是多量越是要镇定审题。至于设计题目时要迎合学生的认知规律，从简单的题目出发，不断鼓励学生认真听课，认真做题，通过这样不断地训练——点拨——训练——提升，学生在其中不断获得成功感，见证自己努力后的提高，如此良性循环，学生解应用题就充满信心。

二、知识、方法方面的指导

解应用题的步骤分为审题、设未知数、分析题意、列方程、解方程、答。以下一一简述如何突破一元一次方程的应用题。

（一）审题

审题是解应用题的第一步，要学生明确审题的重要性：题目就是“叫”和“教”学生怎样解题，题目就是以文字的形式“告诉”学生哪些是等价关系。在审题的过程中，明确题目的类型，常见的一元一次方程应用题类型有行程问题、工程问题、航行问题、销售问题、调配问题、分配问题、比赛记分问题、数字问题、配套问题、增长率问题、比例问题、几何图形问题、方案设计与成本分析问题、年龄问题、收费问题等，针对这么多类型的应用题必须做到及时“对症下药”，涉及行程问题的就用行程公式或公式的变形，涉及工程问题的就用工程公式或公式的变形，如此类推，做到及早锁定思考空间。

（二）设未知数

设未知数有两种方法：直接设和间接设。

1.直接设

直接设是指题目求什么量就设什么量。题目只求一个量，而且这个量与已知的量有直接的关系，则采用这种方法。

例1：甲、乙两人相距60米，相向而行，甲从A地每秒走3米，乙从B地每秒走2米，那么几秒后两人相遇？

分析：本题是相遇问题，求相遇时间，由于这里的相遇时间与二人速度、距离有直接的关系，即：距离=相遇时间×速度和。所以，该题可以设为：设x秒后两人相遇。

例2：某校7000元购进35套桌椅，每把椅子65元，求每张桌子是多少元？

分析：本题是总价问题，求桌子的单价，由于这里的桌子单价与椅子的单价、桌椅的数量、总价有直接的关系，即：总价=（桌子单价+椅子单价）×数量。所以，该题设为：设每张桌子是x元。

2.间接设

间接设是指不直接设题目要求的量，而是设与题目所求量相关的量。

例3：一艘船在两个码头之间航行，水流速度是3千米每小时，顺水航行需要2小时，逆水航行需要3小时，求两码头的之间的距离？

分析：本题是船在顺水、逆水航行的问题，公式为：船在顺水航行的速度=船在静水中的速度 +水流速度；船在逆水航行的速度=船在静水中的速度-水流速度。本题中要求距离但缺少船在静水中的速度，抓住本题等价关系：两码头的距离相等，根据公式（船在静水中的+水流速度）×顺水航行的时间=（船在静水中的速度-水流速度）×逆水航行的时间，船在静水中的速度和两码头的距离都是未知量，要求两码头的距离就必须先求出船在静水中的速度方可完题，因此，本题应采用间接设法，即：设船在静水中每小时航行x小时，则两码头的距离是（x+3）×2千米。

如果题目中要求两个量，就通常设“比”，“是”，“为”字后面的量为未知数，这样，学生对于求两个量的应用题，就有了设的线索了。

例4：甲、乙两人骑自行车同时从相距65千米的两地相向而行，2小时后相遇。已知甲骑车每小时比乙每小时多走2千米，求甲，乙两人的速度。

分析：该题要求甲，乙两人的速度，根据题意可以设二者中的一个为未知数，但是为了学生容易理解（大部分学生接受顺向思维多过逆向思维），我们不妨设“比”字后面的乙的速度为未知数，而甲速度直接根据题目所述比乙多走2千米，即：设乙每小时走x千米，则甲每小时走（x+2）千米。

（三）分析题意

分析题意是建立在审题基础上。为了提高学生的分析能力，在讲授应用题之前让学生熟练相关公式以及公式的变形，结合题意以及所设的未知数进行列表格，列表格是把应用题的抽象化解为直观，大大降低应用题的难度。对于初一的学生刚刚接触列表格，我具体的做法如下：教师必需亲自示范几次完整地列表格，随后列不完整的表格让学生填空，最后完全由学生动手列完整的表格，通过这样循序渐进的训练，学生对列表格有一定的熟练程度。学生学会了列表格为下一步正确列方程迈了重要的一个台阶。

例3：一艘船在两个码头之间航行，水流速度是3千米每小时，顺水航行需要2小时，逆水航行需要3小时，求两码头的之间的距离？

解：设船在静水中每小时航行x小时，则两码头的距离是（x+3）×2千米。

例4：甲、乙两人骑自行车同时从相距65千米的两地相向而行，2小时后相遇。已知甲骑车每小时比乙每小时多走2千米，求甲，乙两人的速度。

例5：甲车队有50辆汽车，乙车队有41辆汽车，如果要使乙队汽车数比甲队汽车数的2倍还多1辆，应从甲队调多少辆到乙车队？

解：设应从甲队调x辆到乙车队。

（四）列方程

综合上述的审题、设未知数、分析题意，解应用题最重要的一步是列方程，也是体现应用题的难点所在。有部分学生懂得列表格，但是就不懂得列方程，说明学生不会抓住题目的等价关系，或者是不能把等价关系“翻译”为列方程。因此，我的做法是引导学生学会找等价关系，把等价关系用简单的文字式子表示，最后根据表格内容把文字式子“翻译”为列方程。

1.“先读先写”

例5：甲车队有50辆汽车，乙车队有41辆汽车，如果要使乙队汽车数比甲队汽车数的2倍还多1辆，应从甲队调多少辆到乙车队？

分析：题目的等价关系句是“如果要使乙队汽车数比甲队汽车数的2倍还多1辆”，把“比”字看做等号，乙在前甲在后，它的文字式子为：乙=2甲+1，再把这个文字式子“翻译”为列方程：

解：设应从甲队调x辆到乙车队。

41+x=2（50-x）+1

2.“怎样完成工程”

例6：某工程由甲、乙两队完成，甲队单独完成需16天，乙队单独完成需12天。如先由甲队做2天，然后两队合做，问再做几天后可完成这项工程？

分析：该题“先由甲队做2天，然后两队合做”，这样完成工程，根据题意求甲乙合做的天数，由于这里没有具体的工作量，因此把工作总量看作“1”，等价关系为：甲2天的工作量+甲乙合做的工作量=1。

解：设再做x天后可完成这项工程。

题目变式：如果例5的问题改为“一共需要多少天才完成这项工程？”

分析：这里要求的是完成这项工程的总时间，上述的等价关系仍不变。

解：设一共需要x天才完成这项工程。

3.巧用“比例”关系

针对配套问题，很多学生不懂得怎样列方程以及把等价关系“翻译”为方程，我们可以巧用“比例”进行理顺配套问题的数量关系，在利用交叉相成列出一元一次方程。

例7：某车间有28名工人生产螺栓和螺母，每人每小时平均能生产螺栓12个或螺母18个，应如何分配生产螺栓和螺母的工人，才能使螺栓和螺母正好配套（一個螺栓配两个螺母）？

分析：一个螺栓配两个螺母可以理解为螺栓：螺母=1：2，列表格如下：

由于列出这个分式方程，通过交叉相乘化为一元一次方程得：。

解：设安排人生产螺栓，安排（28-）人生产螺母才能使螺栓和螺母正好配套。

（五）解方程

我们对教材进行了适当的调整，先系统地讲授如何解一元一次方程，再讲授一元一次方程应用题。对于一元一次方程应用题，当学生列出了方程以及解完后，把结果代进方程两边检验是否其解。

（六）答

解应用题的最后一步是答，注意有两种情况，第一种情况是直接设法的就是问什么设什么就答什么，第二种情况是间接设法的必须就方程的解进行“加工”后才是最终的结果，例如，上述的例3，求出x的值，再代进式子（x+3）×2才是两码头的距离。

应用题是很多学生的弱项，也是选拔学生的其中一种题型，我们只有系统地教授给学生，采取边讲边练的形式循序渐进地开展下去，为了缓和课时有限与应用题知识点较难的矛盾，为了初中数学三年的应用题学习，我认为我们站在一线的七年级老师不要因为问题难而逃避不讲，而是要采用从浅入深，反复讲练，循序渐进等方式结合心理辅导来提高学生的应用题学习。千里之行，始于足下，我们要相信我们的学生，相信学生能熟能生巧，相信应用题不再是学生的头痛题。