数学方法在静电场中的应用

摘要：静电场中的最值问题是高考常考查的知识点之一，解决此类问题时，若想到并运用一些特殊的数学解题方法，将会收到意想不到的效果.

关键词：数学方法；静电场；应用

一、矢量三角形形法

例1. 如图1所示，在匀强电场中，将质量为 ，带电量为 的一带电小球由静止释放.如果带电小球的運动轨迹为一直线，该直线与竖直方向的夹角为 ，那么匀强电场的场强大小是（不计空气阻力）（ ）

A.唯一值是

B.最大值是

C.最小值是

D.以上说法均不对

分析：带电小球的运动轨迹为一直线，说明小球受的合力沿速度方向.对小球进行受力分析，除受重力外，还受电场力，由于匀强电场的方向不确定，电场力的大小和方向随之不确定.根据平行四边形法则， 确定，以 为对角线，可以做出无数个矢量三角形，只有当 时， 才有最小值，如图2所示，即 ，所以 .

点评：合力方向及其中一个分力大小和方向确定，计算另一个分力时，处理此类问题的关键是明确变量与不变量之间的关系，根据矢量三角形的特点，问题就可迎刃而解.

二、不等式法

例2. 计算在带等量同种点电荷连线的垂直平分线上的最大场强.

分析：设两点电荷 、 的带电量均为 ，相距为 ，在两点电荷连线中点 处合场强为零.连线的垂直平分线一直延伸到无穷远处，一般情况下规定无穷远处场强为零.从 点沿中垂线至无穷远处，场强的变化应为从零先增大后又减小至零，故必存在一个最大值.

解析：设在该中垂线上任意一点 处，存在场强最大值，如图3所示，设 则 、 两点电荷在 处产生的场强大小均为 .根据电场的叠加原理 .令 （ >0），等式两边平方得 ，因为 >0， >0，根据均值不等式 ，即 .当且仅当 ，解得 ， .故 .

点评：该题考查了场强的叠加原理，解此类问题的关键是利用数学知识中的不等式就可以解决.

三、求导法

例3.分析沿等量同种点电荷连线的垂直平分线上的场强变化.（见图3所示）

解析：设两点电荷 、 的带电量均为 ，相距为 ， 为 .设 处的合场强为 ，

.对 求导数， ，令 ，得 .所以 为场强的极大值点.因此，沿等量同种点电荷连线的垂直平分线上的场强变化为由 点到两侧 处有极大值，在 点和无穷远处场强为零.

点评：利用导数求解物理量的最值问题，方法简便，物理意义也比较明确.

四、临界值法

例4. 一束电子流在经 的加速电压加速后，在距两极板等距离处垂直进入平行板间的匀强电场，如图4所示，若两板间距 板长 .那么，要使电子能从平行板间飞出，两个极板上最高能加多大电压？

分析：电子进入两种不同的电场，即加速电场和偏转电场.在加速电压一定时，偏转电压 越大，电子在极板间的偏距越大.当偏转电压增大到使电子刚好擦着极板的边缘飞出，此时的偏转电压即为最大电压.

解析：电子在加速电场，由动能定理得 ；电子进入偏转电场，电子恰能从平行板边缘飞出时，偏距 ，即 .代入数值得 .

点评：带电粒子恰能飞出极板和恰能不飞出极板，对应着同一临界状态-----“擦边球”，所以找准临界值是解题的关键.

参考文献：

[1] 李长明.初等数学研究[M] .北京：高等教育出版社，2009.58

作者简介：苏颜璞（1977-），男，甘肃靖远人，本科，中学一级教师，现从事高二物理教学研究.