利用阿氏圆 巧解物理题

郑 金

(凌源市职教中心,辽宁 朝阳 122500)

利用阿氏圆 巧解物理题

郑 金

(凌源市职教中心,辽宁 朝阳 122500)

以物理方法推导并归纳了有关阿氏圆的数学结论以及和两个不等量异号点电荷电场中电势为0的等势面有关的物理结论,用两个结论来解答有关的物理疑难问题.

阿氏圆;点电荷;等势面;球面

在平面内到两个定点的距离之比为不等于1的常数的点的轨迹是圆,称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆.可以证明,在空间到两个定点的距离之比为定值(不等于1)的点的集合是球面;位于空间的两个异号点电荷产生的电场中电势为0的等势面是球面.

图1

1 结论归纳

如图1所示,有两个异种点电荷,其电荷量绝对值之比为n,二者间距为d,在它们产生的电场中电势为0的等势面为一球面.以电荷量的

整理得

物理结论： 在两个不等量异号点电荷电场中的等势面是一个球面.两个点电荷到球面的距离之比等于电荷量的绝对值之比;两个点电荷到球心的距离之积等于球面半径的平方.

2 结论应用

2.1 两个异号点电荷电场中的等势面

这种等势面是一个球面,表面各点处的场强垂直于球面.

图2

例1.(2011年卓越联盟自主招生考题)半径为R的接地金属球外有一电荷量为q的点电荷,点电荷与球心O相距d=2R,如图2所示.金属球上的感应电荷量为

图3

例2.(第12届全国中学生物理竞赛预赛第8题)一个由绝缘细线构成的刚性圆形轨道,其半径为R,此轨道水平放置,圆心在O点.一个金属小珠P穿在此轨道上,可沿轨道无摩擦滑动,小珠P带有电荷Q.已知在轨道平面内A点(OA=r

解析:由于带电小球沿轨道做匀速圆周运动,则电场力对小球不做功,那么轨道上各处的场强垂直于轨道,所以轨道所在的圆周为等势线.

2.2 两个异号点电荷电场中的等大场强面

图4

例3.如图4所示,在真空中有两个点电荷带电荷量分别为+Q和-2Q,二者相距为2a,两个点电荷各自产生的场强大小分别为EA、EB,试确定坐标系中的有限平面内EA=EB的位置.

图5

2.3 两个异号点电荷电场中的同向场强面

若两个电荷量的绝对值不相等的点电荷在空间各处产生电场的合场强矢量方向相同且平行于两个点电荷的连线,则满足该条件的空间各点构成一个球面．

图6

例4.如图6所示,在真空中有两个点电荷A、B,带电分别为-Q和2Q,它们相距为L=2a,在两个点电荷连线的中点O处,有一个半径为r(2r

解析:当金属球壳达到静电平衡时,球壳是一个等势体,内部场强处处为0,即球壳上的感应电荷在球壳内任一点所产生的场强与两个点电荷A、B在该点产生的合场强大小相等,方向相反,因此,对于判断金属球上的感应电荷在球内各点产生的场强是否都相等或都不相等,就是判断两个点电荷A、B在球壳内产生的合场强是否处处相等或者都不相等.由于不是匀强电场,因此在球壳内的合场强不可能处处相等.

图7

判断两个点电荷A、B在球壳内产生的合场强是否处处都不相等,就是判断内部是否有存在合场强相等的特殊点.假设在球壳内部有两点C、D处的场强相等,根据电场线的对称性,直线AB是对称轴,先考虑平面图,则这两点关于直线AB对称,而场强E的方向只能与直线AB平行,如图7所示.

图8

虚线圆的半径为

可知圆心O到虚线圆的距离为

对于上述疑难物理问题的解答,关键是先推导出结论,然后利用结论进行解答,这种分步解答问题的方法,简便快捷.同时,凸显了数学知识的重要性,体现了物理与数学密切相关,即利用物理知识推导数学结论,形象直观;反之,利用数学结论解答物理问题,巧妙快捷.

1 司德平.两个不等量异种点电荷的等势线[J].物理教学,2012,34(3):49，55.

2 徐成华.不等量异种电荷的等势面[J].物理教师,2015,36(12):84-85.

3 沈晨.专题17 静电场原理与方法[J].中学物理教学参考,2005,34(11):52,54.

4 于志毅,李永兵.对一道静电平衡习题条件的讨论[J].中学物理,2004,22(5):8,45.

2016-11-28)