六个角度判断充要条件

2017-04-28 06:38甘肃省白银市第一中学胡贵平
关键词:充分条件电路图等价

■甘肃省白银市第一中学 胡贵平

充要条件的概念及其判断较为抽象,理解起比较困难,同学们初学时常容易出现混淆条件与结论及解题方法呆板、转化不灵等问题,从而感觉无从下手。本文从六个角度强化对三个条件的理解,从集合的角度、等价转化的角度、命题的角度、条件与结论的角度、传递关系的角度、电路图的角度进行判断,并举例分析,以供参考。

一、从集合的角度判断

对于充分条件、必要条件的判断,可以借助于集合之间的包含关系来判断,即设满足条件p的对象组成集合A,满足条件q的对象组成集合B,则可以从表1来判断。

表1

上面这个表格可以简记为:小集合可以推出大集合,则小集合是充分条件,大集合是必要条件,从而化繁为简。

点评:这类问题解决的方法是:先将满足p,q的条件写成集合的形式,再由集合之间的包含关系,得出p,q之间的条件关系。

使p:2x2-5x-3≥0成立的一个充分不必要条件是____。

解:2x2-5x-3≥0成立的充要条件是x≤-或x≥3,即∪[3,+∞),根据上表,可知只要找出A集合的一个真子集即可,所以可填x>4。

点评:本题是找p成立的一个充分不必要条件,这样的条件实际上是不唯一的。同样我们从集合的角度来看,找它的一个充分不必要条件即求A集合的真子集,而这样的真子集也不唯一。

二、从等价转化的角度判断

对于条件和结论含否定的充分必要条件判断问题,若直接判断有困难时,一般利用等价转化的方法。已知p:x2-8x-20<0,q:x2-2x+1-m2<0,若﹁p是﹁q的必要条件,求实数m的取值范围。

解:﹁p是﹁q的必要条件⇔q是p的必要条件。设命题p、q对应的集合分别为A、B,则有:A={x|-2<x<10},B={x|(x-1)2<m2}={x|(x-1-m)(x-1+m)<0}。

①m≥0时,B={x|1-m<x<1+m}。

因为A⊆B,所以1-m≤-2<10≤1+m,所以m≥9。

②当m<0时,B={x|1+m<x<1-m}。

因为A⊆B,所以1+m≤-2<10≤1-m,所以m≤-9。

综上,m的范围为m≥9或m≤-9。

点评:常见的转化有:﹁p是﹁q的必要不充分条件⇔﹁q是﹁p的充分不必要条件⇔p是q的充分不必要条件;﹁p是﹁q的充要条件⇔p是q的充要条件等。

三、从命题的角度判断(见表2)

表2

已知p:-1≤x≤1,q:x2-2x+1-m2≤0,且﹁p是﹁q的必要而不充分条件,则实数m的取值范围是____。

解:若﹁p是﹁q的必要而不充分条件,则q是p的必要而不充分条件,即p是q的充分而不必要条件。

点评:对于那些带有否定性语言的命题,可利用“互为逆否命题的两命题同真假”这一等价关系,先将它转化为肯定型的等价命题,再根据原命题和逆命题的真假判断。

四、从条件与结论的角度判断(见表3)

表3

若m,n为实数,则使mn(m-n)>0成立的一个充要条件是( ),其成立的一个充分而不必要条件是( )。

A.n>m>0 B.n<m<0

点评:特别要注意,若p⇒q,则有以下说法是等价的:①p是q的充分条件;②q是p的必要条件;③p的一个必要条件是q;④q的一个充分条件是p。

五、从传递关系的角度判断

充分必要条件具有传递性,对于较复杂的关系,常可利用符号“⇒”、“⇔”进行传递,根据这些符号所组成的图示得出结论。

设A是C的充分不必要条件,B是C的充分条件,D是C的必要条件,D是B的充分条件,则A是B的( )。

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分且必要条件

D.既不充分也不必要条件

解:由题设,知A⇒C,且C⇒/ A,又B⇒C,C⇒D,D⇒B,由A⇒C,C⇒D,D⇒B,知A⇒B,但由于C⇒/ A,知B⇒/ A,即A是B的充分不必要条件,故应选A。

点评:对于较复杂的连锁式命题,可利用传递性符号,写出它们之间的关系进行判断,直观明了。

六、从电路图的角度判断

对于充要条件的理解,还可以借助下面的电路图来直观地理解。由开关与电灯亮之间的关系来说明充要条件。表4中A、C为开关,B为电灯。

表4

通过上面的开关与电灯亮的关系,可以直观地判断A与B的条件关系。

若p:△ABC中,acosB=b·cosA,q:△ABC为等腰三角形,则p是q的_____条件。

解:p:△ABC中,acosB=bcosA。

因为acosB=bcosA,所以2RsinA·cosB=2RcosAsinB。

所以sin(A-B)=0,A=B。

q:△ABC为等腰三角形。

而q中没有指明哪两个角相等,所以不一定有A=B。故有p则有q,而有q则不一定有p,所以p是q的充分不必要条件。

点评:利用电路图来判断充要条件时,先将条件转化成最简单的形式,再进行判断:有A则有B,有B不一定有A,则A是B的充分不必要条件;有A不一定有B,有B则有A,则A是B的必要不充分条件;有A则有B,有B则有A,则A是B的充要条件;有A不一定有B,有B也不一定有A,则A是B的既不充分也不必要条件。

以上几例从不同的角度来判断充要条件,启发我们对不同的题型,要使用不同的判别方法,不能教条化,学习中必须灵活地掌握这些方法,才能在解题中充分发挥它们的作用。

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