正弦式交变电流有效值、平均值的推导与应用

■江苏省如东高级中学 张 昡

正弦式交变电流有效值、平均值的推导与应用

■江苏省如东高级中学 张 昡

一、正弦式交变电流的有效值

在交变电流变化的一个周期内,交变电流在电阻R上产生的热量相当于一恒定电流在同样时间内在该电阻上所产生的热量,此恒定电流的数值就是该交变电流的有效值。

推导：设两个正弦式交变电流的最大值和周期均相同,它们的瞬时值表达式分别为i1=Imaxs i nω t和i2=Imaxco sω t,其中现将它们分别加在两个阻值均为R的电阻上,易知在一个周期内这两个正弦式交变电流产生的焦耳热Q相等。设这两个正弦式交变电流的有效值为I,则Q=I2R T。在一个周期内,两个正弦式交变电流产生的总焦耳热Q总=2I2R T。在任一时刻t,这两个电阻的热功率分别为P1==(Imaxs i nω t)2R, P2==(Imaxco sω t)2R,这两个电阻总的热功率P总=P1+P2=(Imaxs i nω t)2R+(Imaxco sω t)2R=I2maxR(s i n2ω t+co s2ω t)=R。可见,P总是一定值,与时刻t无关,故Q总=P总T=I2maxR T。又有Q总=2I2R T,所以

二、正弦式交变电流的平均值

在交变电流变化的半个周期内,通过电路中导体横截面的电荷量和一恒定电流在同样时间内通过该电路中导体横截面的电荷量相等时,此恒定电流的数值就称为该交变电流在半个周期内的平均值。

推导：如图1所示,单匝矩形线框abcd在磁感应强度大小为B的匀强磁场中,绕O O'轴以角速度ω匀速转动,线框的面积为S,负载电阻为R。易知当该线框匀速转动时在电阻R中产生正弦式交变电流。电流的最大值线框在匀速转动半周的过程中,产生的平均感应电动势,线框中磁通量的变化量ΔΦ=2B S,则负载电阻R中电流的平均值

图1

例题 如图2所示,光滑绝缘水平桌面上直立一个单匝正方形导线框abcd,线框的边长L=0.4m、总电阻R=0.1Ω。在直角坐标系x O y的第一象限中,有界匀强磁场区域的下边界与x轴重合,上边界满足曲线方程m,磁感应强度大小B= 0.2T,方向垂直于纸面向里。线框在沿x轴正方向的拉力F作用下,以速度v=10m/s水平向右做匀速直线运动通过磁场区域。

图2

(1)画出线框在运动过程中的电流i随时间t变化的图像。

(2)计算该磁场区域的面积S。

(3)求线框在穿越整个磁场的过程中,线框中产生的焦耳热Q。

解：(1)如图3所示,当线框的bc、ad边运动到磁场中心线位置时,感应电动势有最大值。

图3

图4

(2)t1时间内感应电流的平均值I=A,通过导线某一横截面的电荷量C。t1时间内感应电动势的平均值,线框中磁通量的变化量ΔΦ= B S,感应电流的平均值,通过导线某一横截面的电荷量因此该磁场区域的面积

(3)在t1和t3时间内,线框中的感应电流按正弦规律变化,感应电流的有效值I=A,则线框中产生的焦耳热Q= I2R(t1+t3)=0.048J。

图5

如图5所示,一固定的矩形导线框abcd水平放置,线框的左端接一只小灯泡L,在线框所在空间内存在与线框平面垂直的匀强磁场。已知线框的匝数n=100,电阻r=1Ω,所围成矩形的面积S=0.04m2,小灯泡的电阻R=9Ω,磁感应强度按如图6所示的规律变化,线框中产生的感应电动势的瞬时值表达式为e=其中Bmax为磁感应强度的最大值,T为磁场变化的周期。不计灯丝电阻随温度的变化,求:

图6

(1)线框中产生的感应电动势的最大值。

(2)小灯泡消耗的电功率。

参考答案：(1)Emax=8V。(2)P= 2.88W。(3)Q=4×10-3C。

(责任编辑 张 巧)