例谈课本例题的挖潜与应用

浙江省丽水学院幼儿师范学院(323400)

徐仙发●



例谈课本例题的挖潜与应用

浙江省丽水学院幼儿师范学院(323400)

徐仙发●

本文通过对比和拓展，对书本的两道例题进行了比较和进一步研究，发现了圆锥曲线中的一个有意义的性质，其推广了圆中直径所对圆周角为直角的性质，利用本性质有助于巧妙解题.

课本；圆锥曲线；性质；推广；巧妙解题

古语有云：书读百遍，其义自见，可见对于书本熟悉程度的重要性.在文学中如此，而笔者认为，对于理学的数学而言亦是如此.收入课本的例题、思考题、课后习题等都是经过专家们的精心挑选，凝聚着众多教育专家的智慧，具有一定的代表性和典型性.仔细研读和细心对比探究，会发现许多非常有趣的现象和拓展而开的新知识点，在平时数学教学中教师要充分挖掘课本的功能，注重引导学生进行多角度的探究，则学生的学习兴趣亦会被带动起来，成为有效教学的得力手段.

图1

于是将例A的问题一般化，设点A,B的坐标分别为(-t,0)，(t,0). 直线AM,BM相交于点M，且它们的斜率之积为定值m, 求点M的轨迹方程.

变形得：y2=x2m-t2m，即：x2m-y2=t2m,

①当m=-1时，有t2=-t2m，则M的轨迹为以A,B为直径的圆(除去两顶点).

综上，当动点M与两定点A,B所成的斜率的乘积为定值m时，M的轨迹是圆锥曲线(除去两顶点)：

①当m∈(-∞,-1)∪(-1,0)时是椭圆;

②当m>0时是双曲线;

③特别m=-1时是圆.

由上述的解题过程，可以得到下列圆锥曲线的性质：

特别在椭圆标准方程中，令a=b，有x2+y2=a2是以原点为圆心的圆的方程，此时圆上任意不同于A,B的点M，始终有kAM·kBM=-1，即直线lAM与直线lBM互相垂直，符合圆的性质.

当两点A,B为圆锥曲线与y轴的交点时，同样可以推导得出性质2.

性质2 Ⅰ)同性质1.

利用以上性质，在平时解题中可以另辟途径，快速解题.

又顶点分别为A(-2,0),B(2,0)，

∴a=2，a2=4，

∴b2=3.

图2

例2 (2015年新课标全国卷Ⅱ，理11)已知A,B为双曲线E的左右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为( ).

书中自有知识的宝藏，对于课本的精典例题，我们教师要善于研究并发掘其中的闪光点，同时适当加以引导，引导学生进行探究并指导研究的方向，让学生在自我探究中发现数学的美，并能利用发现的结论加以方便解题，如此，学生会进一步深刻理解所学的知识，在极大提升学习的积极性的同时，也培养了学生的一定的数学研究能力.

[1] 刘绍学.普通高中课程标准实验教科书·数学(选修2-1) A版[M], 北京：人民教育出版社, 2015, 41-55.

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