泰勒公式的几点简单应用

易强　吕希元

摘 要 泰勒公式能将较复杂的函数近似转化为简单的多项式的处理，再结合导数的知识可以来求解未定式的极限、特殊形式的极限和利用它作函数的证明。

关键词 泰勒公式 极限 导数 皮亚诺余项

中图分类号：O17 文献标识码：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2017.03.021

1 定理

设在=0处存在+1阶的连续导数，则有：

=++2+…++（），

其中（）=，上式为函数在=0点处的关于的展开式，称为泰勒公式，其中（）叫皮亚诺余项（Peano）。

证明：作辅助函数：

=2…，易知，在[0，]或者[，0]上是连续的，并且有：=，=0，=。

又引入一个辅助函数：（）=，利用柯西定理可得： = ，而应在0到之间，则有：

=，=0，=（）

=，=0，=（）

将这些结论都代入到由柯西定理得到的等式中得：

=，又由于

==0，

∴（）=

2 常见的初等函数的泰勒公式

当→0时，有：

（1）=1+++…++

（2）=+…++

（3）=1+…++

（4）（1+）=1+++…++

（5）1n+（1+）=+…++

利用如上的一些常用公式可以将一些较复杂的极限变得简单易求。

3 利用泰勒公式求解未定式及特殊的极限

若在=0处存在阶可导，且有带皮亚诺余项的泰勒公式，即：

=++2+…++

当有：=0时，且有：=+，=+，则有：

==（≠0）。

例1：求=

解：由于+1=，+1（1+24）+，

=（12）（1+2）+=2+

又因为，当→0时，～，从而

==.

例2：求

解：当时，由于1～～，又由1n（1+）=+，从而，

原式==。

利用泰勒公式还可以求解极限中的参数。

例3.确定常数，使：（）=0

解：因为=2= 2++€%^，其中€%^=0，所以=（2）（+）++€%^，由此可知，欲使：

（）=[（2）（+）++€%^]=0，

则有：=2，=。

由此易知，当x→+∞时，曲线=以直线=2为斜渐近线。

4 利用泰勒公式证明函数或导数存在特殊点

有时要证某点满足某等式时，常常利用泰勒公式，而所要找的点一般为式中的中间值点。

例4：已知在[a，b]满足三次可导，试证：€HR∈（a，b），有：

=+（）+（）3·（）。

证明：将在=处展开成二阶的泰勒公式，再分别取和代入得：

=+（）+（）2+

（）（）3

=+（）+（）2+

（）（）3

满足，∈（，）从而可得：

=（）+[（）+（）]（）3，

由于[（）+（）]介于（）和（）之间，从而€HR∈（a，b），满足

（）=，

故：=+（）+（）3（）。

例5.试确定，使极限存在，其中=++…+，≠0，为自然数。

解：令（）=+…+，则有：

==+（）+，其中：=0，由于存在，而

=

=（），

故有=0，所以=。

5 利用泰勒公式证明不等式

通过估计泰勒公式的余项来证明不等式，在近n年的考研数学中常有如下考点，已知有拉格朗日余项型的泰勒公式，例如三阶的泰勒公式：

=++2+[+]3，其中∈（0，1）。当对余项作适当估计时就可得相应不等式。

例6：已知在[0，1]上连续，在（0，1）内存在二阶的导数，并设==0，且有=2，试证：€HR∈（1，1），使≤。

证：由==0，且=2可知存在最大值点，满足∈（0，1），当在此点展开可得：=+（）+（）2，其中∈（，）。将=0，=1及=2，且=0代入可得：=+（）+（）2，即：

0=2+a2，∈（0，1）。

同理有：=+（）+（）2，

則0=2+（）2，∈（0，1）。

当0<<时，有=<；当≤≤1时，=≤。综上可得：∈（0，1），满足≤。

利用泰勒公式建立了一阶导数与二阶导数之间的关系。

例7.若在[0，1]二阶可微，且有||≤，||≤，，均为非负数，€HO∈（0，1），试证：||≤2a+。

证明：利用二阶泰勒公式，€HO∈[0，1]，€HO∈（0，1），有：

=+（）+（）2，其中∈（），

当时，得：=+（）+，∈（），

再令，得：=+（）+，∈（），将上面两式相减得：

=（）+[]，

即：（）=[]，

从而：|（）|≤||+||+[||+||]≤2+[（1）2+]≤2+[1+]=2+。

所以，|（）|≤2+成立。

例8.已知在（，）内有二阶导数，且（）<0，试证：对于（，）内的任意两个不同的与，且满足+=1，0<<1的两个数和，均有>（）+（）。

证明：将在某点利用泰勒公式展开至=1得：

=+（）+（）2，其中∈（a，b），

当=时代入得：=+（）+（）2，∈（，），当令=时代入得：=+（）+（）2，∈（，），将第一式两边乘以，然后将第二式两边乘以再相加得：

（）+（）=+（+）+（）2+（）2， 令+=代入得：

（）+（）=（+）+[n（）]2+

[m（）]2，

又因为<0恒成立，从而（）+（）<成立。

6 小结

泰勒公式的作用非常巨大，应用也相当广泛，本文只是从几个方面介绍了泰勒公式的应用，实际上，泰勒公式在作近似计算方面也是非常实用，而且计算精确度比较高。

参考文献

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