中考中的平行四边形问题

2017-06-10 23:13郭璇
初中生世界·八年级 2017年5期
关键词:位线对角线勾股定理

郭璇

平行四边形知识是中考的重点内容,纵观近几年的中考题,平行四边形以其独特的魅力占据了一席之地.该部分试题形式丰富,考查面广,下面根据本章的知识点,列举一些典型的中考题,与同学们分享.

考点1:平行四边形的性质

例1 (2016·江苏无锡)如图1,已知平行四边形OABC的顶点A、C分别在直线x=1和x=4上,O是坐标原点,则对角线OB长的最小值为 .

【分析】如图2,当点B在x轴上时,对角线OB最短.由题意得∠ADO=∠CEB=90°,OD=1,OE=4,由平行四边形的性质得出OA∥BC,OA=BC,∠AOD=∠CBE,由“AAS”可证明△AOD≌△CBE,得出OD=BE=1,继而得出结果.

解:当点B在x轴上时,对角线OB最短,如图2所示:直线x=1与x轴交于点D,直线x=4与x轴交于点E.根据题意得:∠ADO=∠CEB=90°,OD=1,OE=4.

∵四边形ABCO是平行四边形,

∴OA∥BC,OA=BC,

∴∠AOD=∠CBE,

在△AOD和△CBE中,

∴△AOD≌△CBE(AAS),

∴OD=BE=1,

∴OB=OE+BE=5.

【规律方法】平行四边形的性质及应用:

1.平行四边形是中心对称图形,两条对角线的交点是它的对称中心.

2.平行四边形的每条对角线,把平行四边形分成两个全等的三角形,两条对角线把平行四边形分成四组全等的三角形.

3.解决平行四边形中的线段和角相等的问题时,常利用其性质证明三角形全等.

考点2:平行四边形的判定

例2 (2016·浙江舟山)如图3,已知点E、F、G、H分别是四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA的中点,根据以下思路可以证明四边形EFGH是平行四边形:

(1)如图4,将图3中的点C移动至与点E重合的位置,F、G、H仍是BC、CD、DA的中点,求证:四边形CFGH是平行四边形;

(2)如图5,在边长为1的小正方形组成的5×5网格中,点A、C、B都在格点上,在格点上画出点D,使点C与BC、CD、DA的中点F、G、H组成正方形CFGH;

(3)在(2)的条件下求出正方形CFGH的边长.

【分析】(1)连接BD,根据三角形的中位线的性质得到CH∥BD,CH=[12]BD,同理FG∥BD,FG=[12]BD,由平行四边形的判定定理即可得到结论;

(2)根据三角形的中位线的性质和正方形的性质即可得到结果;

(3)根据勾股定理得到BD,由三角形的中位线的性质得到FG,于是得到结论.

【解答】(1)证明:如图6,连接BD,

∵C、H是AB、DA的中点,

∴CH是△ABD的中位线,

∴CH∥BD,CH=[12]BD,

同理:FG∥BD,FG=[12]BD,

∴CH∥FG,CH=FG,

∴四边形CFGH是平行四边形;

(2)如图7所示.

(3)解:如图7,∵BD=[5],

∴FG=[12]BD=[52],

∴正方形CFGH的边长是[52].

【规律方法】平行四边形的判定思路:

1.若已知一组对边平行,可以证明这组对边相等,或另一组对边平行.

2.若已知一组对边相等,可以证明这组对边平行或另一组对边相等.

3.若已知条件与对角线有关,可以证明对角线互相平分.

考点3:平行四边形中的折叠问题

例3 (2016·江苏宿迁)如图8,把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开,折痕为MN,再过点B折叠纸片,使点A落在MN上的点F处,折痕为BE.若AB的长为2,则FM的长为( ).

A.2 B.[3] C.[2] D.1

【分析】根据翻折不变性,可得AB=FB=2,BM=1,在Rt△BFM中,可利用勾股定理求出FM的长.

【解答】∵四边形ABCD为正方形,AB=2,过点B折叠纸片,使点A落在MN上的点F处,

∴FB=AB=2,BM=1,

则在Rt△BMF中,

FM=[BF2-BM2]=[22-12]=[3], 故选B.

例4 (2016·湖北鄂州)如图9,菱形ABCD的边AB=8,∠B=60°,P是AB上一点,BP=3,Q是CD边上一动点,将梯形APQD沿直线PQ折叠,A的对应点为A′,当CA′的长度最小时,CQ的长为( ).

A. 5 B. 7 C. 8 D. [132]

【分析】本题考查了菱形的性质、轴对称(折叠)、等边三角形的判定和性质、最值问题.由题意可知,△ABC为等边三角形,过C作CH⊥AB,则CH=[32]AB=4[3],AH=BH=4.利用勾股定理计算出CD=7,再根据折叠的性质得点A′在以P点为圓心、PA长为半径的弧上,利用点和圆的位置关系得到当点A′在PC上时,CA′的值最小,然后证明CQ=CP即可.

【解答】解:如图10,过C作CH⊥AB.

∵ABCD是菱形,∠B=60°,

∴△ABC为等边三角形.∴CH=[32]AB=4[3],AH=HB=4.

∵BP=3,∴HP=1.

在RT△CHP中,CP=[(43)2+12]=7.

∵梯形APQD沿直线PQ折叠,A的对应点为A′,∴点A′在以P点为圆心、PA为半径的弧上,∴当点A′在PC上时CA′的值最小.

∴∠APQ=∠CPQ,

∵CD∥AB,

∴∠APQ=∠CQP,∴∠CQP=∠CPQ,

∴CQ=CP=7.

故正确答案为B.

【规律方法】本题作为选择题,通过作图得出答案是比较便捷的方法.弄清在什么情况下CA′的长度最小(相当于平移对称轴)是解决本题的关键. 折叠问题的本质:轴对称(全等性、对称性).解题关键:根据折叠实现等量转化,可用勾股定理列式解决,或找折叠中的特殊位置来解决特殊值问题.

(作者单位:江苏省扬州市田家炳实验中学)

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