测量不确定度引起的抽样检验误判率计算

王汉斌 陈晓怀 李红莉 程银宝 程真英

1.合肥工业大学仪器科学与光电工程学院，合肥，2300092.福建省计量科学研究院，福州， 350003

测量不确定度引起的抽样检验误判率计算

王汉斌1,2陈晓怀1李红莉1程银宝1程真英1

1.合肥工业大学仪器科学与光电工程学院，合肥，2300092.福建省计量科学研究院，福州， 350003

为合理配置测量资源，提高产品检验结果的可靠性，对抽样检验中测量不确定度引起的误判风险进行了量化评估。分析了抽样检验中可能存在的各种风险，重点对测量不确定度的影响进行了讨论；分别针对检验前误判率预估和检验结果误判率计算两种应用情况，提出了误判率计算公式；以产品尺寸合格性检验为例，进行了误判率计算和分析。结果表明，抽样检验误接收和误拒收概率均随测量不确定度的增大而增大，产品检验前应根据可接受误判率合理选择测量方法；对具体产品批的合格性判定结果，应同时计算对应的误判率，以保证产品检验结果的可靠性。

抽样检验；合格判定；测量不确定度；误判率

0 引言

合理估计测量不确定度造成的产品检验误判率，使测量不确定度在产品检验中的影响量化可控，对提高产品供给质量，灵活配置测量资源，具有重要意义。

当前，测量不确定度在产品检验中的影响已日渐受到国内外学者的重视。DESIMONI等[1]综述了产品检验国际标准，指出在合格判定应用中尚需发布统一的指导性标准。PENDRILL[2]综述了产品合格判定方法，认为产品检验中应兼顾误判风险和检测成本，以使综合利益达到最优。MACII等[3]提出了全数检验中产品供求双方风险计算公式,以进行风险控制。PHILLIPS等[4]基于误判风险研究了产品接收区域的选择方法。KOSHULYAN等[5]为平衡产品供求双方风险提出了计算产品接收限的近似公式。ZANOBINI[6]将贝叶斯方法引入到不确定度评定及产品合格判定中。DING等[7]通过对测量不确定度中系统性效果的单调性进行研究，建立了合格判定新规则。DJAPIC等[8]提出了对产品风险管理实行标准化的方法，综合使用统计模型和非统计模型表示测量不确定度的影响。陈继锋等[9]建立了误判率函数表，以指导产品可靠性分析。余学锋等[10]通过过程能力指数、测试不确定度比等参数得到了产品误判风险。黄英等[11]研究了以扩展不确定度包含频带为基础的产品合格判定新方法。陈晓怀等[12]研究了全数检验中单件产品合格判定及误判率估计方法。

综合分析现有研究成果[1-12]可知，产品检验的误判风险研究已逐渐由定性分析发展到定量计算，但当前研究内容普遍基于全数检验情况，尚无文献涉及基于抽样检验的情况。抽样检验具有工作量小、成本低、效率高的优点，尤其适用于生产批量大、自动化程度高、产品质量比较稳定的情况，对抽样检验误判风险进行量化评估，对产品质检工作的提质增效具有重大意义。

本文对抽样检验方法及误判风险来源进行综合分析，在此基础上，以计数型抽样检验为对象，研究测量不确定度引起的误判风险。

1 抽样检验风险分析

1.1 抽样检验方法概述

根据检验判据的不同，抽样检验方法可分为计数型抽样和计量型抽样，其中，发展最成熟、应用最广泛的是计数型抽样。尽管根据适用情况不同，计数型抽样又可进一步细分为计数标准型、计数挑选型和计数调整型等多种方案，但各种计数型抽样方案本质上均可用一组参数(n，Ac，Re)表示[13]。其中，n为从一批产品中抽取的样本数，Ac为接收数，Re为拒收数。设，经检验，抽取的样本中有d件不合格品，当d≤Ac时，将整批产品作为合格批接收；当d≥Re时，将整批产品作为不合格批拒收；当Ac

1.2 抽样检验风险分析

抽样方法本身特点造成检验结果必然存在风险。抽样方法造成的风险包括两方面：第一，在合格批中可能存在不合格品，在不合格批中可能存在合格品。承担这种风险是抽样检验得以应用的前提。在进行抽样检验时，只需保证判定为合格的产品批中不合格品率不高于用户规定即可。第二，不合格品率低于用户规定的产品批可能被误拒收，不合格品率高于用户规定的产品批可能被误接收。这种风险与抽样方案的选择有关。国家标准中推荐的抽样方案，已将该风险控制在供求双方均可承担的范围内。

本文研究的误判风险与上述两种风险不同，主要关注在国家标准推荐的抽样方案下，测量不确定度对抽样检验合格性判定结果的影响。根据GB/T 18779.1-2002，测量不确定度对单件产品检验的影响见图1。受测量不确定度影响，在产品公差下限TL和公差上限TU附近，产生了以产品检验扩展不确定度U为半宽的不确定区。当测量结果最佳估计值位于图1中1、2区域时，可能将不合格品误判为合格品而误接收；当测量结果最佳估计值位于图1中3、4区域时，可能将合格品误判为不合格品而误拒收。文献[12]已对单件产品的合格性判定及误判率计算进行了系统论述。

图1 测量不确定度对单件产品合格性判定影响Fig.1 The influence of measurement uncertainty on the conformity assessment of the single product

抽样检验判定的对象是产品批。单件产品合格性的误判，可能造成对样本中不合格品数的误估计，进而造成对产品批合格性的误判。

经检验，样本中不合格品数为d件，考虑测量不确定度造成的误判，样本中真实的不合格品数为dz件，对于判定为合格的产品批，误接收的条件为

(1)

对于判定为不合格的产品批，误拒收的条件为

(2)

根据式(1)、式(2)，分别针对检验前误判率预估和检验后产品批误判率计算两种情况，提出误判率计算公式。

2 检验前误判率预估

产品检验前，样本的测量结果及合格性均未知，送检产品批既可能被判为合格，也可能被判为不合格，误接收不合格批和误拒收合格批的误判率均可能存在，共同表征测量不确定度对抽样检验的影响。检验前，可参考产品质量控制信息及产品检验测量不确定度，对两类误判率进行预估，从而灵活配置测量资源。

2.1 误判率计算模型

设经检验，n件样本中有d件不合格品；受测量不确定度的影响，不合格品中有i件误判，合格品中有j件误判。样本中真实的不合格品数

dz=d-i+j

(3)

设产品批中任一件产品被判为合格的概率为Q1，被判为不合格的概率为Q2；对任一件合格品，测量不确定度造成误判的概率为PCR；对任一件不合格品，测量不确定度造成误判的概率为PPR，则

(4)

式中，Pdij为随机事件“n件产品中，有d件产品被判为不合格，且被判为不合格的产品中有i件误判，被判为合格的产品中有j件误判”发生的概率。

(1)误接收概率。由式(1)、式(3)可求出误接收不合格批时d、i、j可能取值范围：

(5)

用累加法计算误接收不合格批的概率:

(6)

(2)误拒收概率。由式(2)、式(3)可求出误拒收合格批时d、i、j可能取值范围：

(7)

用累加法计算误拒收合格批的概率:

(8)

2.2 模型中参数计算

上述模型中，参数n、Ac、Re可根据抽样检验条件直接由国家标准检索获得。Q1、Q2、PCR和PPR可通过产品质量控制信息及测量不确定度评定结果计算得到。

设产品加工过程统计受控，产品批中随机抽取的某件产品测量结果最佳估计值为x，x服从正态分布N(μ，σ)，μ和σ分别表示产品质量特性值的平均值和标准差；产品检验中，产品公差下限为TL，公差上限为TU，则

(9)

(10)

设产品检验的合成标准测量不确定度为uc，考虑到产品检验过程受大量随机因素的综合影响，根据中心极限定理，测量不确定度的分布服从正态分布，PCR和PPR的计算公式为

(11)

(12)

3 检验结果误判率计算

产品检验后，根据样本中不合格品数，可确定产品批的合格性。对于判定为合格的产品批，仅可能存在误接收的概率;对于判定为不合格的产品批，仅可能存在误拒收的概率。误判率计算结果可作为产品批合格判定结果的补充，使测量不确定度造成的产品批合格判定风险量化可知。

3.1 误判率计算模型

根据样本测量结果，参考公差限，可确定样本中不合格品数为d。设不合格品中有d1件误判，合格品中有d2件误判。

当d≤Ac时，判定产品批合格，此时仅存在误接收不合格批的概率，误接收概率为

PSCR=P(d2-d1≥Re-d)

(13)

当d≥Re时，判定产品批不合格，此时仅存在误拒收合格批的概率，误拒收概率为

PSPR=P(d1-d2≥d-Ac)

(14)

式(13)、式(14)不存在一般的表示形式，当抽样方案及具体测量结果不同时，其对应表示形式各不相同。实际检验中可用穷举法计算误判率，合格判定及误判率计算流程见图2。

图2 抽样检验合格判定及误判率计算流程Fig.2 The flow of conformity assessment and misjudgment probability calculation for sampling inspection

图2中，Pm为穷举中第m种情况出现的概率，M为满足条件的情况数。实际检验时，仅对测量结果位于图1中不确定区的产品是否发生误判的情况进行穷举即可，穷举数量通常较少。穷举中每种情况出现的概率，可通过单件产品误判率进行计算。例如，设PA、PB、PC分别是与产品A、B、C合格性相对应的误判率，则随机事件“产品A、B均发生误判，产品C不发生误判”对应的概率计算公式为PAPB(1-PC)。其他情况出现的概率可类比计算。

3.2 模型中参数计算

单件产品合格判定方法及其误判率计算公式见表1，公式推导过程可参考文献[12]。表1中，x为测量结果最佳估计值;F(y)为测量不确定度分布函数，其表达式为

(15)

表1 x位于不同区间时误判率计算公式

4 实例分析

某零件厚度的公差要求为(50±0.02)mm，零件生产过程统计受控，产品质量特性值的平均值μ和标准差σ分别为50.0050 mm和0.0050 mm。

产品每次交付检验的批量大小N=280件，经供求双方协商，接收质量限(AQL)为1.0，检验水平选择一般检验水平Ⅱ级，采用一次抽样正常检验。由GB/T2828.1-2012检索抽样方案为：n=32，Ac=1，Re=2，即检验时从整批产品中随机抽取32件样本，统计样本中不合格品数d，当d≤1时，接收整批产品；当d≥2时，拒收整批产品。

4.1 检验前误判率预估

由式(6)、式(8)推导过程可知，当抽样检验方案(n，Ac，Re)及产品质量控制信息(μ，σ)均已确定时，抽样检验误判率PCWS、PCWJ是测量不确定度uc的函数。实际产品质量控制中，产品检验测量不确定度应基于产品公差要求选取，常用测量过程性能比表示测量不确定度与产品公差的关系。ISO22514-7标准中定义，测量过程性能比Q的计算公式为

(16)

参考GB/T18779.2-2004，取扩展不确定度U的包含因子k=2，由式(16)可得

(17)

实例中，TU-TL=0.04 mm，而Q的取值通常要求在10%～33%之间，由式(17)计算uc的取值范围是：0.0010～0.0033 mm。依据式(6)、式(8)，抽样检验误接收概率PCWS、误拒收概率PCWJ与uc的函数关系如图3所示。图3中，因为曲线2所示的PCWJ的变化范围相比于曲线1所示的PCWS的变化范围较小，所以对其数据进行10倍放大(见曲线3)，以便于观察其变化趋势。

1.PCWS 2.PCWJ 3.10PCWJ图3 抽样检验误判率与测量不确定度关系Fig.3 The relationship between sampling inspection misjudgment probabilities and the measurement uncertainty

由图3可知，当产品加工统计受控时，误接收概率总大于误拒收概率，且两类误判率均随测量不确定度的增大而增大。

实例中，选择坐标测量机进行产品检验，基于文献[14]所述测量不确定度评定方法，评定产品检验测量不确定度uc=0.0023 mm，由此预估出：PCWS=0.36%，PCWJ=0.04%。

计算结果表明，对于任意一批送检产品，可能有0.36%的概率误接收，0.04%的概率误拒收。

4.2 检验结果误判率计算

对某批送检产品进行随机抽样，经检验，32件样本产品中有31件合格，1件不合格。不合格品数d≤1，可判定产品批合格。

根据表1，逐一检查每件样本测量结果，发现样本中有3件产品可能存在误判，如表2所示。

表2 样本中可能存在误判的产品测量结果及合格判定Tab.2 The measurement results and conformity assessment results of the products with misjudgment risks in sample

由表2可知，不合格品中误判件数d1最大可能为1，合格品中误判件数d2最大可能为2，d1和d2的取值组合可能满足式(13)条件，因此判定该产品批合格存在误判风险。

利用穷举法，列出满足式(13)条件的所有可能组合，共4种：

(1)C、B不发生误判，A发生误判；

(2)C、A不发生误判，B发生误判；

(3)C不发生误判，A、B均发生误判；

(4)C、A、B均发生误判。

计算误接收的概率：

PSCR=(1-PC)(1-PB)PA+(1-PC)(1-PA)PB+
(1-PC)PAPB+PCPAPB≈11.50%

为验证误判率计算结果的正确性，采用蒙特卡罗法，对产品合格性进行仿真，步骤为：

(1)通过正态分布，分别生成产品A、B、C的不确定度分布，则被测参数的真实值为不确定度分布区间中的随机数。

(2)从产品A、B、C的分布中随机抽取被测参数的真实值进行合格判定，统计真实不合格品数dz。

(3)反复重复步骤(2)，进行大样本仿真。本例中，仿真实验次数为106。

(4)对106次仿真实验中，每次实验出现的真实不合格品数dz的分布进行统计，如表3所示。

表3 仿真实验结果统计

由合格判定条件可知，当dz≤1时，产品批合格；dz≥2时，产品批不合格，即判定其合格存在误判。基于仿真结果，计算误判率为

基于蒙特卡罗仿真计算结果与基于提出方法计算的误判率11.50%大体一致，从而证明了提出误判率计算方法的有效性。

由计算结果可知，受测量不确定度的影响，判定该批产品合格时存在11.50%的误判风险。产品检验人员可参考该误判率，进行进一步的检验判定，以保证接收产品批的可靠性。例如，可在样本检验中采用增加重复测量次数求平均值的方法；或采用如文献[15]所述的替代测量或补偿测量等测量策略，合理减小产品检验测量不确定度，使样本产品检验结果脱离不确定区。本例中，使用替代测量方法[15]将产品检验合成标准测量不确定度减小到0.0015 mm时，根据测量结果可判定产品A、B合格，且认为不存在误判风险，从而可依据样本检验结果较为可靠地判定整批产品合格。

5 结论

(1)抽样检验中，受测量不确定度影响，单件产品的误判会引起对样本中不合格品数的误估计，进而影响产品批的合格判定。

(2)抽样检验中，误接收和误拒收的概率均随测量不确定度的增大而增大。检验前，应对测量不确定度造成的两类误判率进行预估，从而合理选择测量方法，灵活配置测量资源。

(3)对产品批进行抽样检验时，应结合具体的测量结果，计算与产品批合格性对应的误判率。当误判率较大时，可对产品批进行进一步的检验判定，以保证产品质量的可靠性。

(4)未来研究中，在制定产品抽样检验方案时，可考虑测量不确定度的影响，对抽样检验方案进行合理改进。

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(编辑 袁兴玲)

Calculation of Misjudgment Probabilities Caused by Measurement Uncertainties in Sampling Inspections

WANG Hanbin1,2CHEN Xiaohuai1LI Hongli1CHENG Yinbao1CHENG Zhenying1

1.School of Instrument Science and Opto-electronics Engineering，2.Fujian Metrology Institute, Fuzhou,350003

To reasonably distribute measurement resources and improve the reliability of the product inspection results, misjudgment risks caused by measurement uncertainties in sampling inspection were evaluated. Different kinds of risks in sampling inspections were analyzed, and the influences of measurement uncertainties were mainly described. Misjudgment probability formulas were given, respectively for the pre-estimations before inspections and calculations after inspections. Taking product size conformity assessment as an example, misjudgment probabilities were calculated and analyzed. Results show that misjudgment probabilities for both acceptance and rejection in sampling inspection increase with the measurement uncertainties, measurement methods should be reasonably chosen before inspections according to acceptable misjudgment probabilities. For the conformity assessment results of specific product batch, corresponding misjudgment probability should also be calculated to ensure the reliability of product inspection results.

sampling inspection；conformity assessment；measurement uncertainty；misjudgment probability

2016-05-23

国家自然科学基金资助项目(51275148)；合肥工业大学青年教师创新项目(JZ2014HGQC0126)；中央高校基本科研业务费专项资金资助项目(JZ2016HGBZ0764)

TB92；TH124

10.3969/j.issn.1004-132X.2017.07.012

王汉斌，男，1989年生。合肥工业大学仪器科学与光电工程学院博士研究生,福建省计量科学研究院工程师。主要研究方向为现代精度理论及应用。E-mail：wanghanbinbin@163.com。陈晓怀，女，1954年生。合肥工业大学仪器科学与光电工程学院教授、博士研究生导师。李红莉，女，1976年生。合肥工业大学仪器科学与光电工程学院讲师。程银宝，男，1984年生。合肥工业大学仪器科学与光电工程学院博士研究生。程真英，女，1980年生。合肥工业大学仪器科学与光电工程学院讲师。