在智性体验中提升思维
——“解决问题的策略——假设”教学实录与反思

◇陈金飞

在智性体验中提升思维
——“解决问题的策略——假设”教学实录与反思

◇陈金飞

【课堂实录】

一、创设情境，萌发策略

师：上课之前，老师做个小调查，你和朋友一般通过什么方式交流？

生：微信聊天、打电话、面对面交流、QQ聊天……

师：现在交流的方式很多，QQ是一个很好的聊天工具。陈老师收集了几个网友的QQ等级，大家看看谁的等级高？谁的等级低？

（师出示：快乐小猪2颗星星，天马行空2个月亮1颗星星，海绵宝宝1个太阳、1个月亮、1颗星星）

生：因为星星级别最低，其次是月亮，太阳级别最高，所以海绵宝宝的等级最高，快乐小猪的等级最低。

师：QQ等级是如何从星星变成太阳的？

生：4颗星星换成 1个月亮，4个月亮换成 1个太阳。1个太阳等于16颗星星。

师：QQ等级换算中就藏着我们今天学习的策略，让我们带着已有的经验，开始今天的学习。

二、探究新知，形成策略

师：有630毫升果汁，现在打算把果汁倒入7个玻璃杯，如果正好倒满，你会想到什么？

生：果汁的总量是630毫升，倒入 7个玻璃杯，用630除以7，得到每个杯子的容量是90毫升。

师：（出示图1）真的是这样吗？

图1

生：原来以为杯子是相同的，所以平均分。现在杯子不相同，不能平均分，要增加“小杯和大杯之间的关系”。

师：如果增加 “已知大杯的容量是小杯的3倍”这一条件，可以获得怎样的等量关系？

生：1个大杯的容量＝3个小杯的容量，6个小杯的容量＋1个大杯的容量＝630毫升。

师：厘清了数量关系，现在可以自己动手，在作业纸上画画、算算，再在小组里交流。

（师收集不同做法，全班交流）

生：我假设全部倒入小杯。把1个大杯换成3个小杯，和原来的6个小杯合起来是9个小杯，630毫升果汁倒入9个小杯，每个小杯的容量是70毫升，大杯的容量是210毫升。

生：我假设全部倒入大杯。6个小杯换成2个大杯，和原来的1个大杯，合起来是3个大杯……

师：仔细观察两位同学的解题过程，他们求出的结果是否正确？如何检验？

生：要看6个小杯和1个大杯的果汁加起来是不是630毫升，还要检验是否符合3倍关系。

师：比较两位同学的解答过程，相同之处在哪儿？

生：假设倒入同一种杯子，果汁的总量不变，杯子的个数发生变化。

生：都是把两个未知量通过假设转化成一个未知量。

师：你们总结得很好，当有些问题不能直接解决时，我们可以用假设的策略来搭桥解决。

三、对比辨析，提炼策略

师：下面这几道题适合用假设的策略解决吗？大家先独立思考，再四人小组一起交流一下。

（1）有两堆5角的硬币，第一堆共13元，第二堆共18元。你知道这些5角的硬币共多少枚吗？

（2）如图2，钢笔和铅笔的单价各是多少元？

图2

（3）把720毫升果汁倒入5个小杯和2个大杯，正好都倒满。3个小杯的容量等于2个大杯的容量。小杯和大杯的容量各是多少毫升？

（小组交流后汇报）

生：第1题已经告诉我们每堆的总价和每份数，可以直接求出每堆的枚数，不需要用假设的策略。

生：第2题中虽然有两个未知量，但缺少两种未知量之间的关系，所以没法用假设的策略解决。

生：第3题能用假设的策略解决，可以假设把果汁全部倒入小杯。

师：有没有假设全部倒入大杯的？

生：题中告诉我们3个小杯等于2个大杯，可以直接把2个大杯假设成3个小杯。如果全部假设成大杯，换成的大杯个数不是整数，不好计算。

师：看来，用假设的策略解决问题时，还要学会选择简单的方法。通过比较，你觉得什么情况下适合用假设的策略解决问题？

生：题中出现两个未知量，未知量之间存在等量关系时，可以用假设的策略解决问题。

四、变式练习，拓展策略

（师出示：把720毫升果汁倒入4个小杯、2个中杯和1个大杯，正好都倒满。大杯的容量是中杯的2倍，中杯的容量是小杯的2倍。小杯、中杯、大杯的容量各是多少）

师：难道只能出现两个未知量吗？看，发生了什么变化？

（小组交流后汇报）

生：假设全部倒入小杯。2个中杯假设成4个小杯，1个大杯假设成4个小杯，720毫升果汁倒入12个小杯。

生：也可以假设全部倒入中杯，或者假设全部倒入大杯。

师：假设前后，果汁总量和杯子的个数发生了怎样的变化？

生：果汁的总量没有变化，杯子的个数发生了变化。

师：与例题相比较，发生了什么变化？

生：例题只有两个未知量，这道题有三个未知量。

师：相同的地方是什么呢？

生：都是用假设的策略，抓住未知量之间的关系，转化为一个未知量。

师：如果遇上四个、五个……未知量时，怎么办？

生：可以抓住未知量之间的关系，用假设的策略转化为一个未知量。

师：用假设的策略解决问题关键在于未知量之间要存在等量关系。通过假设，可以使复杂的关系变得简单。

五、回顾反思，深化策略

师：有了假设这一策略，可以使复杂的数量关系变得简单。回顾过去的学习，我们在哪儿用过假设的策略？

生：在低年级做的等量代换的题中就用到过假设的策略。

（师出示图3、图4）

图3

图4

师：是不是这样的问题中有假设的影子？

生：对，图3中把1个苹果假设成2个橘子，3个苹果可以假设成6个橘子。

生：图4中把1个菠萝假设成3个苹果，4个苹果是600克，1个苹果是150克。

师：如果1个苹果重x克，可以建立一个怎样的等式？

生：4x=600，这里的x等于150。

师：如果把这个等式变化为4x+y=600，现在x等于多少？

生：不能解答，因为x与y之间缺少关系，如果增加一个条件就可以，比如y=2x，把y假设成2x，6x=600，x=100。

师：这是初中要学习的二元一次方程组，这么高深的知识用今天学到的假设策略很轻松地就解决了，可见假设策略的本领真大。

【教后反思】

本节课的内容，2001版教材称其为“替换”的策略，2014版教材调整为“假设”的策略。“假设”是“替换”的上位概念，假设是策略，替换是方法，而策略只能通过体验不断内化，逐步建构，才能形成智性学习所主张的“关系性理解”，提升思维水平。

一、利用直观问题情境，引发策略

在导入环节，教师要精心创设问题情境，把学生引入富有挑战性和思考性的情境之中，赋予知识以现实背景，通过教师适当的引导，唤醒学生建立数学模型的潜意识。

在教学假设策略时，提出“一瓶630毫升的果汁倒入7个杯中，刚好倒满，你会联想到什么”的问题，很容易使学生想到1个杯子的容量是90毫升。当出示“6个小杯和1个大杯”的条件后，学生发现不能用平均分直接解决了，因为题目中出现了两个不同的未知量，这样，学生的关注点就自然地聚焦到大杯和小杯的容量之间的关系上。教师适时补上“大杯的容量是小杯的3倍”这一条件，这样的情境能为学生学习假设策略提供空间和机会，使假设的策略呼之欲出，又非常自然。

二、经历解决问题过程，感悟策略

智性学习的课堂，强调对数学对象本质的把握。在这节课上，我首先为学生提供“两个量是倍数关系”的假设问题，让学生初步感悟，遇上两个未知量，可以抓住两个量之间的倍数关系假设成一个未知量。然后提供3道题，让学生进行辨析。在辨析中，围绕“题中有几个未知量”“两个未知量之间是否存在关系”这两个关键点进行。辨析题第2题，是一道书本习题的改编题，书本习题条件充分，而改编后故意留白。有部分学生看到题目后，有两个未知量，就认为可以用假设的策略解决。这时，有同学发现了问题，指出这道题缺乏假设的依据，“犯错”的学生是自己在潜意识中增加了假设的依据——1支钢笔价钱等于3支铅笔的总价。学生经历“犯错”过程，进一步认识到用假设的策略解决问题的本质，从而促进学生对策略的深刻建构。

三、注重及时反思回顾，提升策略意识

在假设策略的教学中，我先后三次引导学生及时反思。第一次反思安排在“倍数”关系教学后，让学生回顾假设的思考过程，明确假设的真正价值在于使问题简单化。在组织辨析活动后，引导学生进行第二次反思：“今后遇到什么样的问题可以选择假设的策略？”从而提升策略选择的水平。第三次是在学生解决了三个未知量的问题后，组织学生反思，使他们进一步悟出“用假设的策略解决问题，不在于未知量的个数多少，关键在于未知量之间要存在等量关系”。这样的一个过程，实质上是学生对学习的一种自我监控，形成的策略是学生学习的收获，同时对获得策略的过程所进行的反思与获得策略本身一样具有重要的价值。

（作者单位：江苏启东实验小学）