不一样的计算

张宏伟

[摘 要]以独特的视角发掘了乘法笔算与空间图形的新联系，开发了另辟蹊径的“形算结合的课程”，由“指算、画线算、方格算、十字相乘法和‘铺地锦”五个项目课程的研究学习，让学生学会了用“形”来表达算理和算法，实现了“数与代数”和“图形与几何”在笔算乘法中的有效整合，开阔了学生的视野，改变了学生对计算的观念和情感，让学生感受到计算也可以很形象、很好玩、很美丽、很优雅。

[关键词]两位数乘两位数；形算结合；指算；画线算；方格算；十字相乘法；铺地锦

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2017）17-0006-03

一、缘起

去年四月底，青岛城阳实验小学邀请我去上一堂高年级的研讨课，负责人询问我：“要上一节什么课？需要学校做哪些准备？”我回复：“看看学生想上什么课吧。”并请他们代我对四年级学生进行调查：

“有位北京的老师来和你们一起上一节数学课，请选出你想上的内容：A.应用题；B.图形、位置与方向；C.统计；D.计算；E.量的计量；F.数的认识。”

四（6）班42名学生，选择计算的仅1人。于是，我决定上一节计算课，以期改善学生对计算的认识。

二、课堂

1.回应调查

我出示调查单：“同学们，我们班只有1人选了计算课。为什么那么多同学都不喜欢计算？”

学生的意见：“计算很枯燥。”“很没意思。”“不小心就出错。”“就是重复地算算算，无聊死了。”“天天都要算，很烦的。”……

“听你们这么一说，计算真是不太讨人喜欢呢。唯一喜欢计算的同学是哪位？请你谈谈喜欢的理由。”

这个学生还没站起来，就有人说道：“他就计算好，别的都不行。”

我说：“能先让他谈谈自己的想法吗？”

但是，那个学生再也不愿意说了。

我鼓励他：“计算是数学最重要的基础，计算好，其他内容你一定也能学好。”（我冲着那个学生竖起大拇指，但是看得出，其他同学并不认同）

“计算不是你们认为的这个样子，它其实是非常奇妙、非常有意思的。只是你们不读书，不研究，不知道，才这样认为的。信吗？”

没想到全班学生竟异口同声拉着长音答道：“信——”我知道他们口是心非，只不过是习惯使然，配合我罢了。

2.“袖里乾坤”——指算

“我们先来做个游戏，你们随便说一个个位大于十位的两位数。”（我把六七个学生说的两位数，都写在黑板的一侧）

“把这些数乘9。不用口算，不用笔算，不用计算器，我也能算出来，你猜我会怎样算？”

学生一脸怀疑和茫然。

“我用手指头就能算，信吗？”

学生：“信！”（他们很惊奇，但确是真相信。）

“初次见面，就对我这么相信！真感动！”

“请全体起立，我们一起‘指算27乘9！”

“雙掌并列；个位是7，就从左起，弯下第七指；十位是2，就从左起数出两根手指捏在一起。最后，这样看结果：几根手指捏在一起就是几百；百和弯下的那指之间有几根手指，就是几十；最右侧剩下几指就是几。因此从手上就可以看出27×9=243。”（图略）

学生立刻自发地用笔算或口算的方法进行验证，看到得数确实是243后，都露出难以置信的惊奇表情，要求我再讲讲怎么弯指计算，于是我带着学生又一起指算了69×9（图略）。

学生又陆续算了几个，尽皆正确，他们无不欣喜若狂，啧啧称奇：“手竟然是天生的乘法计算器。”

忽然有个学生喊出来：“ 53×9算不出来。”

“是的，只能是个位比十位大的两位数。”

“不乘9，乘其他数可以吗？”有学生问道。

“你试试。”

学生很快发现做不到，有些遗憾和失望。

我说：“别急，古代有很多手指算法，因为古代衣袖很长，一般都是手不出袖，悄悄计算，所以将这种指算称为‘袖里乾坤。你们回去可以上网查查，很好玩的。我这里还有一种对任何乘法计算都能用的奇妙方法，想不想试试？”

学生毫不怀疑，兴奋地说：“好！好！好！”

3.“穿针引线”——画线算

“这个奇妙的方法叫画线算，有知道的吗？”（学生皆摇头）

“那请同学们先出个题。”

我以32×12为例，和学生一起操作：

先画线来表示32（左边画三条线表示十位的3，右边画两条线表示个位的2）。如果你手里有足够的小棒或者笔，也可以用它们代替线，用手摆一摆。（个别学生选择了摆）（如图1）

再画12，和刚才方向相反，十位和十位对应，个位和个位对应，覆盖在刚才画的线的上面。（如图2）

然后，把所有的交点按照各自的位置分成三个区域。（如图3）

最后把从左到右三个区域的点依次写下来，即3、8、4，积就是384。（如图4）

学生用笔算验证后，非常吃惊，纷纷试着计算刚才自己提出的乘法算式。这样，在试算中就解决了“每个分区的点数满几十就向前一个区域进几”的问题。幸福、喜爱、兴奋写在学生脸上。

4.“圈地运动”——方格算

我说：“我这里还有一种计算方法呢！我称它为‘圈地运动，也叫方格算，想不想试一试？”

这时的学生个个都充满了激情，摩拳擦掌，准备尝试。

我先让他们从方格中圈出32乘12，然后试着将这些方格划分成几个能很快口算出结果的区域，最后用算式表达自己的操作过程，分享自己计算经过和思路。学生研究的结果，不仅出现了图5所示的两种情况，还出现了诸如：10×10+10×10+10×10+30×2+2×2+10×2的情况，可谓“百家争鸣，异彩纷呈”。

我引导学生把算式和图形进行比较，让学生感悟数形之间的内在联系：“32是我们圈的这块地的什么？12是这块地的什么？384又是这块地的什么？”

因为四年级学过面积计算，学生即刻就想到了长方形的面积公式：长×宽=面积。

5.“团结互助”——十字相乘法

我让学生观察因数和积的关系（如图6）后，研究如何用因数的4个数字计算出3、4和8。有了方格算的经验，学生很快就发现了其运算规律（如图7）。

此时，学生都自觉举例验证，并在试用中解决了十字相乘中的进位问题。

最后，我引导学生把十字相乘法和画线算法进行比较（如图8），学生很快就发现它们之间的内在联系和本质的一致性，感受到计算的和谐、一致与美丽。

三、余音

“同学们，时间过得真快，马上就要下课了，我们就要告别了，我想了解一下，现你对计算有什么看法？”

“没想到计算还有这么多方法！”

“计算原来也很有意思。”

“这样比光算好玩多了。”

“我喜欢这样计算。”“我开始喜欢计算了。”

……

我自豪地问：“怎么样，张老师聪明吧？”

學生无限钦佩地表示：“聪明！”并自发地给我鼓起了掌！

“错了，张老师一点都不比你们聪明，张老师只是比你们多看了一点关于计算的书，多上网查了资料而已。只要平时多阅读有关计算的书籍，多做些计算的研究，你们就会发现，计算并不是原来认为的样子，它一点都不枯燥，而是很好玩、很有趣、很美妙。”

“最后，我推荐一本书，书的名字叫《算得快》，作者刘后一，推荐的理由是：让你的计算超过计算机！”

“另外，我还打印了介绍‘格子算法的资料（见附件）。格子算法与方格算法名字相近，但绝对不同。资料里详细介绍了格子算法的操作流程，请你课后仔细研究，研究出来后，教教你的父母和附近的伙伴。你们也可以登录这个网站看有关视频：http：//v.ku6.com/show/DywgC8YQZf9GSED_.html。”

四、续貂

两、三位数乘两位数的笔算，传统的课程编排一般不会突破“数与代数的领域”，只在“计数单位的累积，以及数与数的关系”上进行运作，并依此对算理进行理解和阐释，对算法进行规范和演绎。我在研究本部分内容时，发现了乘法笔算与空间图形的新联系，开发了另辟蹊径的“形算课程”，引入了指算、画线算、方格算、十字相乘法和铺地锦，让学生学会用“形”来表达算理和算法，打通了“数与代数”和“图形与几何”的关系，实现了这两个区域在笔算乘法中的有效整合，为学生打开了计算的另外几扇窗，改变了学生对计算的陈旧认识，开阔了学生的视野，让学生感受到计算也可以很形象、很好玩、很美丽。