为有源头活水来

康鑫

[摘 要]数学概念的建立是解决数学问题的前提，学生在运用数学概念进行推理、判断后要得出正确的结论，首先要正确地掌握概念、理解概念。以北师大版数学六年级下册“正比例”的教学为例，通过体会概念的发生之源、探究抽象的经验之源、解决问题的应用之源，让学生对数学概念既知其然，又知其所以然。

[关键词]整体认知；丰厚情境；过程抽象；应用之源

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2017）17-0025-02

正确理解并灵活运用数学概念，是掌握数学基础知识和运算技能、发展逻辑论证和空间想象能力的前提。而忽略了概念的背景或源头，学生的概念学习如无源之水、无本之木。如何才能从“源头”出发，帮助学生理解数学概念？下面就从北师大版六年级下册“正比例”的教学说起。

一、忌空中楼阁，重知识源头

所谓源头，就是指教学的起源。正、反比例是重要的函数关系，要让学生能够体会函数思想，就需要丰富的教学情境。为此，教材在“正比例”之前安排了“变化的量”，意在拓宽学生理解正、反比例的背景。“正比例”这一课时，教材首先给出了正方形的周长与边长以及面积与边长的表格，让学生研究面积与边长以及周长与边长变化中的相同和不同后，再结合对路程与时间的变量关系的研究，抽象出正比例的意义。不难看出，对于前一课时“变化的量”，学生虽然体会到生活中存在着大量的相互依存的变化的量，但没有对变化量的变化方向进行研究与分类，而“正比例”这一课呈现的只是变化方向一致的变量，没能很好地让学生明晰知识的源头，这样就会对学生后续学习反比例有一定的影响。为了让学生从整体上认知正、反比例，让学生体会知识发生之源是很有必要的。

【片断一】研究变化的量，找相同与不同

课件呈现五个表格的信息。

师：上节课我们学习了变化的量，知道研究变化的量可以从三个方面入手，请说说是哪三个方面？

生1：有哪些变化的量。

生2：是怎么变化的。

生3：是怎么描述的。

师：老师又给大家带来了一些变化的量，请你们从这三个方面思考，然后在小组内说一说这些表格中的量有什么相同的地方，又有什么不同的地方。

学生思考后得出：

相同：都有两个变量，一个量变化，另一个量也变化。

不同：变化的情况有的相同，有的不相同。

问题：你能根据变量的变化情况将表A、B、C、D、E进行分类吗？

生4：我们分了三类。一类是表A、B、C，每个表中的两个变量都是“一个量增加，另一个量也随着增加，一个量减少，另一个量也随着减少”；第二类是表D、E，每个表中的变量都是“一个量增加，另一个量反而减少，一个量减少，另一个量反而增加”。

师：大家的意见老师也同意，可以说表A、B、C中两个量的变化方向都是一致的，表D、E中两个量的变化方向都是相反的。今天这节课，我们先来研究变化方向一致的两个量的关系。

学生借助研究“变化的量”获得的经验，在研究五个有代表性的表格信息后，明晰了互相依赖的变化量的变化方向有的是一致的，有的是相反的，体会到变化的量多而复杂，但有规律，体会到本课学习内容源自生活中变化的量，体会到探究的方法来自之前习得的研究经验。

二、忌形式抽象，重过程抽象

概念形成的过程就是抽象的过程。教师要引导学生在操作活动或分析、比较等思维活动中，体会不同材料的共性变化，逐层抽象出概念的共同属性，再通过解释、思辨等学习活动掌握概念的本质。教材在研究“正方形周长与边长、面积与边长的变化规律”后，并未揭示正比例的意义，而是在研究了“路程与时间的变化规律”后，才描述正比例的意义。可见，让学生经历抽象过程的意图是明显的，路径是清晰的，即通过在相同中找不同、不同中找相同，归纳正比例的意义，学习路径是直线形的。为此，教师可在把握正、反比例的整体上，引导学生经历找相同与不同、找不同与相同的数学化过程，进而抽象出正比例的意义。这样的抽象过程更丰厚，更利于学生理解所学概念的本质。与此同时，通过反思总结，学生更能深刻体会到，探究知识的经验之源能为学习后续知识积累丰富的活动经验。

【片断二】研究变化的量，找不同与相同

1.深入分析，找出不同

師：表A、B、C中的两个量变化方向都是一致的，它们的变化有什么不同吗？

学生讨论后得到：

表A中两个量的变化好像没有规律。

表B中周长总是边长的4倍。

表C中面积除以边长的得数不一样。

师（追问）：表B中，周长为什么总是边长的4倍？表C中，面积除以边长的得数为什么不固定？

生1：正方形周长等于边长乘4，所以周长与边长的比值一定，而正方形面积等于边长乘边长，面积除以边长等于边长，因为边长在变，所以得数不固定。

2.研究中再感知

一辆汽车以90千米/时的速度行驶，行驶的路程与时间如下所示。把下表填写完整，你能从表中发现什么？

F.汽车行驶的路程与时间的变化情况

学生独立填表后交流。

生2：路程随时间变化而变化，变化方向相同，而且路程与时间的比值一定，也就是速度一定。

3.比较中找相同，揭示意义

师：比较表F和表B中变量的变化情况，有什么相同的地方？

生3：都有两个变量，变化方向一致，两个变量的比值都是一定的（不变的）。

师：像这样的两个量的关系就是正比例关系，这样的两个量成正比例。

4.解释变化的量，建构意义

师：周长和边长成正比例吗？为什么？表F的路程和时间成正比例吗？为什么？正方形面积和边长成正比例吗？为什么？怎样的两个量成正比例？

师（归纳）：两个变量如果变化方向一致，比值一定，它们就是正比例关系。

师：你是怎样理解这里“正”的意思的？这里的“比例”在哪能找到？

生4：“正”就是变化方向一致，比例有很多，比如表B中，4∶1=8∶2，8∶2=16∶4，1∶4=2∶8，1∶2=4∶8。

5.回顾反思，积累研究经验

师：我们是怎样研究正比例关系的？

生5：先分析变量的变化规律，然后通过比较找出它们的相同之处。

学生通过研究变化方向一致的变量的变化规律，经历了五个层次的学习思维活动后，逐步抽象出正比例的意义，体会到概念的抽象性。

三、忌偏重技能，重内化理解

数学概念形成的核心是理解。教材的第一课时安排了两道练习题，这两道练习题都是通过表格呈现两个变量的几组对应的数据，让学生判断两个量是否成正比例，并说出原因。其用意是让学生通过在具体情境中的判断进一步理解正比例的意义，而不是急于落实技能目标。由于正比例知识属于主观性知识范畴，让学生经历知识的形成过程、理解知识的本质尤为重要，但体会知识产生的必要性不可或缺。只有明白了知识在哪里用、怎么用，学生对概念的本质才能做到真正理解，才有利于学生数学素养的形成与发展。因此，概念课的教學既要设计帮助学生内化理解的练习，也要设计源自生活的问题，让学生切实体会学习的价值。

【片断三】练习应用，内化本质

师：我们已经理解了正比例关系，现在来解决一些问题吧！

1.学校科学小组在同一时间、同一地点进行观察实验，测得竹竿的高与竹竿的影长如下表所示：

（1）说一说竹竿的影长与竹竿的高的变化关系。

（2）写出竹竿的影长与竹竿的高的比，有什么发现？

（3）竹竿的高与竹竿的影长是不是成正比例？为什么？

2.出示PPT：

学生阅读、思考、讨论、交流。

学生观察后能够发现同时同地竹竿的高和竹竿的影长的关系，再次理解了正比例的意义，为反比例的学习与研究打下了坚实的基础。在解释与探究测量金字塔高度的原理与方法的过程中，学生能感悟学习正比例的必要性，体会数学知识的应用之源，达到了对正比例既知其然，更知其所以然的教学效果。

（责编 童 夏）