辅助函数的应用
——基于惩罚函数的实证研究

郭蓉 段玉洁（通讯作者）

济南大学

辅助函数的应用
——基于惩罚函数的实证研究

郭蓉 段玉洁（通讯作者）

济南大学

本文主要通过查询各种书籍及相关资料，介绍了辅助函数——惩罚函数的应用。惩罚函数的提出更好的解决规划问题。本文希望通过辅助函数的详细介绍来说明在数学领域中，辅助函数的重要性和广泛应用，辅助函数并不是一个固定的函数，他是针对具体问题所提出的与题目相关的函数，对题目的解决具有非常关键的作用，希望大家能够积极运用辅助函数来解决题目。

惩罚函数 非线性规划 辅助函数

一、研究背景

解决数学问题经常用到函数，构造辅助函数来解决数学问题是一种极其有效的方法。构造辅助函数经历了直觉数学、算法数学和现代构造数学三个阶段。上世纪六十年代，比肖泊提出了“现代构造数学”的说法，他否定了直觉数学阶段，摆脱了具有复杂理论的算法数学阶段，超脱了各种束缚，并使用了极为简单的符号的用语，容易被一般人看懂并理解。

二、研究目的和意义

当突然面对一个问题发现毫无头绪并不能解决时，可从题目中所给的已知条件和待证结论的特点来构造辅助函数，再画出函数图像，通过图像看出函数的奇偶性、单调性，解决完这个辅助问题，用这个辅助问题来推导出要解决的问题。辅助函数起到桥梁的作用，他将我们所知的条件构造出辅助函数与所证函数联系起来进一步推导得出。

三、实证研究

（一）理论介绍

考虑一般约束最优化问题：

本章所讲的惩罚函数的基本思想是：根据原问题中的约束条件设出目标函数，然后添加惩罚项得到带参数的目标函数，我们对所要解决的约束问题就可以变为解决一系列的无约束非线性问题，也称为序列无约束极小化技术。

（二）惩罚函数的应用

1.求解非线性规划[1]

定义惩罚函数：

用解析法求解minF(x,δ)，有：

得到：

2.饮料的生产批量问题[2]

某饮料厂有一条生产线，并用该生产线轮流生产多种饮料，某周开始生产一种饮料，需要6千元的生产准备费。其中生产成本：100元/箱；贮存费：每周每千箱饮料2千元。该饮料前4周的需求量如下表所示，应该如何安排生产，使其既能满足要求的生产量又能使4周的总费用最小。由已知可得：

目标函数：

约束条件：

其中，ct为时段t 生产费用(元/件)，ht为时段t 库存费 ，st为时段t 生产准备（元）dt为时段t 市场需求（件），xt为时段t生产量，It为时段t 库存量，yt=1为时段t开工生产，yt=0为不开工。

周次需求量（千箱）1 4 2 6 3 4 4 8

合计22

构造罚函数I(yt)=Myt(e−yt)，约束问题转化为，为下列模型：

求解该非线性规划得出最优解x=(4,10,0,8)。

四、结论

我们通过查阅资料及相关文献可知，惩罚函数法是一种使用很广泛，很有效的辅助函数法。它在不破坏原约束的约束条件下，将最优解归结到原约束问题的最优解上面去。我们发现惩罚函数法在现实生活应用中，可以把约束优化问题转化为无约束优化问题来求解，具有更强的适用性。

[1]施光燕,庞丽萍.最优化方法[M].北京: 高等教育出版社,2007.8：81-86

[2]王兴华.惩罚函数法的改进算法及应用研究[D].燕山大学,2009.

郭蓉（1996-），山东菏泽人，济南大学数学科学学院本科在读；通讯作者：段玉洁（1996-），山东菏泽人，济南大学数学科学学院本科在读。