动量守恒定律和角动量守恒定律辨析

郝亚非

(浙江师范大学数理与信息工程学院物理系 浙江 金华 321004)

动量守恒定律和角动量守恒定律辨析

郝亚非

(浙江师范大学数理与信息工程学院物理系 浙江 金华 321004)

辨析了系统动量守恒和角动量守恒的适用条件，旨在加深学生对动量守恒定律和角动量守恒定律的理解.以3个例题为例，根据实际条件选择参数，计算了系统的内力和外力的数值，分析了系统所受合外力(外力力矩的矢量和)远小于系统内力(内力矩)的条件.结果表明，只定性地根据物体的质量很小就得出物体的重力远小于系统内力的结论是不充分的，质量很小的物体的重力是否远小于系统的内力还取决于碰撞前物体的速度；而外力力矩的矢量和是否远小于内力矩不仅取决于碰撞前物体的速度，还取决于碰撞的位置.

动量 角动量 守恒 力矩 力

动量守恒定律、角动量守恒定律和机械能守恒定律是力学的三大守恒定律.其中，角动量守恒定律适用的条件是[1,2]：

(1)系统相对于参考点的外力力矩的矢量和为零，即Mex=0.

如果满足如下条件，也可以应用角动量守恒定律.

(2)系统相对于参考点的外力力矩的矢量和不为零，即Mex≠0，但是过程进行的时间极短，且外力力矩的矢量和Mex远小于系统的内力矩Min，即Mex≪Min，外力力矩可以忽略不计，系统的角动量也可以看作守恒.

条件(1)很容易把握，只要判断出系统所受的合外力相对于参考点的外力力矩的矢量和为零，即可得出系统角动量守恒的结论.条件(2)比较抽象，很多学生很难准确地理解和把握.以下我们先以力学中常见的两个例题(例1，例2)为例，通过数值计算，直观地给出过程进行时间极短的情况下，外力力矩的矢量和与内力矩的相对大小，分析应用角动量守恒定律的条件(2).

图1 例1示意图

解题思路：将虫与杆作为一个系统，先运用角动量守恒定律求解得到虫与杆碰撞后的角速度，该角速度即为虫向杆端点爬行时杆的恒定角速度，然后运用角动量定理求解虫的爬行速度.

要解决该问题首先需要判断出系统关于O点的角动量守恒，而判断系统关于O点角动量守恒，需要分析系统所受外力和内力.系统所受外力：支撑点O对杆的力、杆的重力、虫的重力，其中支撑点对杆的力和杆的重力的作用线均过O点，相对O点的力矩均为零，所以外力矩只有虫的重力矩，大小为

系统的内力为虫和杆的碰撞力，内力矩大小为

这是一种外力力矩的矢量和不为零的情况，系统相对于O点的角动量是否守恒取决于外力力矩的矢量和是否远小于内力矩.这和文献[3]中的情况不同，文献[3]中外力和内力相对于参考点的力臂不同，外力的力臂远小于内力的力臂，可以得出合外力的力矩远小于内力矩的结论.本文中，虫的重力和碰撞内力相对于O点的力臂相同，虫的重力和碰撞内力相对于O点的力矩的大小取决于虫的重力和碰撞内力的相对大小.通常的分析是：虫的重力很小，远小于系统的内力，所以系统角动量守恒.但是，这样分析让学生很迷茫，mg和Fin都是符号，学生很难直观地得出虫的重力远小于碰撞内力的结论.如果能够给出Fin的数值，再分析虫的重力mg和系统内力Fin的相对大小就很容易了.

可以先假定系统相对于O点的角动量守恒，即

J虫ω0=(J杆+J虫)ω

得到虫和杆碰撞后的角速度大小为

线速度大小为

然后对虫运用动量定理求解虫受到杆的碰撞内力.分析虫的受力，虫受重力和杆对它的碰撞内力，根据动量定理，有

碰撞时间很短，可以取Δt=0.001 s，求得平均碰撞内力大小为

图2 例2示意图

【例2】一个沙袋用质量忽略不计的绳悬挂于O点，一颗子弹以水平速度v0击入沙袋，并和沙袋以同样的速度运动，子弹和沙袋构成的系统动量和角动量是否守恒？(不考虑子弹和沙袋的大小)示意图如图2所示.

解题思路：子弹要击入沙袋，v0需要达到一定数值才可以，取v0=200 m·s-1.根据对例1的分析，这种情况下，子弹和沙袋构成的系统关于O点的角动量守恒.因为沙袋的重力和绳子的拉力相对于O点的力矩为零，系统的外力力矩的矢量和为子弹的重力矩，远小于系统的内力矩.

系统的动量是否守恒呢？

动量守恒定律适用的条件是[1,2]：

(1)系统所受的合外力为零，即Fex=0，系统的总动量保持不变.

(2)系统所受的合外力不为零，即Fex≠0，但是合外力在某个坐标轴上的分量为零，系统的总动量虽不守恒，但沿该坐标轴的分动量却是守恒的.

在实际问题中，如果满足如下条件，也可以应用动量守恒定律.

(3)系统所受的合外力不为零，即Fex≠0，但是过程进行的时间极短，且合外力远小于系统的内力Fin，即Fex≪Fin，可以忽略外力对系统的作用，认为系统的总动量守恒，如碰撞、打击、爆炸.

首先，例2符合条件(2)，沿x轴方向系统所受合外力为零，沿x轴方向的动量守恒.在碰撞前后瞬间，系统沿y轴方向的速度为零，系统的总动量是否守恒呢？这需要用条件(3)来判断，该条件也很抽象，学生也不容易理解和把握.

接下来，我们仍以力学中常见的两个例题(例2，例3)为例，通过数值计算，直观地给出过程进行时间极短的情况下，系统所受的合外力和内力的相对大小，分析应用动量守恒定律的条件(3).

子弹击入沙袋前的速率取v0=200 m·s-1，子弹质量mz=0.01 kg，沙袋质量ms=10 kg，碰撞时间Δt=0.01 s，绳长L=1 m.根据角动量守恒定律，有

Jzω0=(Jz+Js)ω

可求得子弹击入沙袋后的角速度大小为

ω=0.2 rad·s-1

线速度大小为

v=Lω=0.2 m·s-1

求得

图3 例3示意图

【例3】一个长度为L的刚性杆悬挂于O点，可绕O点自由转动，一颗子弹以水平速度v0击入杆，并和杆以同样的速度运动，子弹和杆构成的系统动量和角动量是否守恒？(不考虑杆的横向线度)示意图如图3所示.

解题思路：根据前两个例题的分析可知，子弹和杆构成的系统角动量守恒.

系统动量是否守恒呢？

求得O点对杆的水平作用力Fx=1 N.所以沿水平方向系统所受的合外力远小于系统的内力，系统沿水平方向的动量守恒.

综上所述，判断系统所受合外力(外力力矩的矢量和)是否远小于系统内力(内力矩)时，只定性地根据物体的质量很小就得出物体的重力远小于系统的内力的结论是不充分的，质量很小的物体的重力是否远小于系统的内力还取决于碰撞前物体的速度，而外力力矩的矢量和是否远小于内力矩不仅取决于碰撞前物体的速度，还取决于碰撞的位置.本文通过3个例题，计算了系统的内力，并和系统所受的合外力进行比较，分析系统所受合外力(外力力矩的矢量和)远小于系统内力(内力矩)的条件.本文中所举的3个例题都是力学中常见的例题，通过数值计算的方法，能够加深学生对动量守恒定律和角动量守恒定律的理解，对学生剖析、深刻理解相关物理规律在类似问题中的应用也是有所帮助的.

1 马文蔚, 解希顺, 周雨青. 物理学. 北京: 高等教育出版社, 2006

2 赵近芳, 王登龙. 大学物理学(第4版). 北京: 北京邮电大学出版社, 2015

3 邱晓燕, 唐志海. 一道力学碰撞问题中动量守恒与角动量守恒辨析. 物理教学探讨, 2011, 29(433): 40～41

4 王宗昌. 木棒和子弹组成系统的动量守恒问题. 南阳师范学院学报, 2005, 4(9): 36～37

AnalysisontheConservationLawsofMomentumandAngularMomentum

HaoYafei

(PhysicsDepartment,ZhejiangNormalUniversity,Jinhua,Zhejiang321004)

This paper analyzes the application conditions of the conservation laws of momentum and angular momentum, helping students to come to a better understanding of these two laws. By analyzing three examples, and choosing parameters, the values of internal force and resultant external force are calculated, and the conditions that resultant external force (resultant external moment) is far less than internal force (internal moment) are analyzed. The results show that it is imprecise to come to the conclusion that the gravity of the object with very small mass is far less than internal force, whether the gravity of object is far less than internal force also depends on the preceding collision velocity of the object. Whether the resultant external moment is far less than internal moment depends on not only preceding collision velocity of the object but also the collision location.

momentum; angular momentum; conservation; moment; force

郝亚非(1980- )，女，副教授，主要从事物理教学研究工作，研究方向为材料物理.

2016-10-18)