一类几何非线性系统的H0pf分岔研究

牛瑞涛　牛坤

摘要：研究了一类具有无理非线性恢复力的几何非线性系统的Hop盼岔问题，首先，应用Lagrange方程建立了几何非线性动力学运动微分方程，分析了平衡点的分岔及稳定性等复杂动力学行为，利用泰勒级数对原系统逼近并进行五次截断，引A.Van del Pol阻尼扰动得到五次非线性Lienard系统，然后利用Hop盼岔理论，得到了系统在分岔突变点附近的三个Hop盼岔曲面，在分岔曲面上，系统平衡点稳定性发生改变并在平衡点附近出现极限环。

关键词：几何非线性系统；五次非线性；Hopf分岔；极限环；Runge-Kutta法

几何非线性是当代科学技术与工程应用中经常遇到的重要非线性因素，与材料非线性、接触非线性构成工程应用研究中的三大非线性问题，基于无理非线性特性出现了一类崭新的几何非线性动力系统，并且该系统被命名为SD（Smooth anddiscontinuous）振子及SD吸引子，该振子依赖于系统参数表现出光滑动力学到不连续动力学的转迁特性。

文章研究非线性Van del Pol阻尼扰动的耦合SD振子的Hopf分岔，理论分析得到系统的多Hopf分岔行为，数值模拟验证几何非线性系统的多极限环共存现象。

1.几何非线性动力学系统

1.1力學模型

基于SD振子力学模型，我们建立了几何非线性动力学系统（或耦合SD振子）的力学模型，它由一个质量块m和连接于质量块的一对倾斜且能够被拉压弹簧上构成.弹簧的刚度系数和自然长度分别为k和L，末端固定在一个刚性底座上，虽然弹簧提供线性回复力，但是由于模型几何非线性构型的改变使作用在质量块上的水平方向的力表现为强无理非线性特性。

几何非线性系统的运动微分方程为

Hopf分岔理论研究的是自治系统平衡点解分岔产生稳态周期解的问题，基本思想是基于经典稳定性理论，从方程的摄动方程零解稳定性来判别平衡点解的稳定性.Hopf证明了系统在分岔值处将从平衡点解分岔出一个非常量的周期解，即对应系统的极限环，系统发生振荡或振荡失稳。因此追踪系统平衡解流形、确定分岔点位置，对于了解无理非线性系统稳定性及其变化规律有重要的意义。

3.结语

文章分析了未扰动几何非线性系统的光滑与不连续动力学转迁特性，包括平衡点分岔、恢复力及势能函数，给出了Vander Pol阻尼扰动下系统的HoDf分岔条件.理论结果为几何非线性系统的Hopf分岔及稳定性的控制与设计参数选取提供理论依据。