功能梯度层合板的主共振

刘志强，薛春霞

(中北大学 理学院， 太原 030051)



功能梯度层合板的主共振

刘志强，薛春霞

(中北大学 理学院， 太原 030051)

以中间层为基体材料、上下层为对称的功能梯度材料组成的层合板为研究对象，根据大挠度理论和薄板变形理论，利用Hamilton原理和Rayleigh-Ritz法推导出了在简谐机械力作用下功能梯度层合薄板的非线性振动方程。利用多尺度法对非线性振动方程进行求解，得到了层合板的幅频响应方程。利用Matlab探讨了不同边界条件下的层合板的主共振问题，通过改变阻尼、机械力等的大小来分析这些因素对主共振的影响。

功能梯度层合板；Hamilton原理；非线性振动；Matlab

功能梯度材料[1-2]作为一种新型复合材料，因其具有耐高温和良好的几何特性等优点，所以在航空、航天、船舶等领域已得到广泛应用。在实际应用时功能梯度材料往往处于极其复杂的工作环境中，且对参数的变化非常敏感。因此，对于功能梯度材料的断裂、屈曲、振动等问题的研究具有重要的理论和现实意义。陈伟球等[3[4]分析了功能梯度矩形薄板的非线性自由振动问题，结果表明：振动控制方程中包含耦合效应控制项。沈惠申等[5]研究了功能梯度剪切板在热环境中屈曲后的振动，并分析了各参数对振动的影响。张小广等[6]研究了横向简谐力下功能梯度矩形板的非线性主共振问题，并对解的稳定性进行了分析。Chen等[7-8]研究了初始应力下功能梯度板的非线性振动问题，讨论了初始应力和振幅对振动频率的影响。Ng等[9-10]研究了在周期荷载作用下功能梯度板和圆柱壳的振动，讨论了参数激励对振动的影响。

本文通过求解简谐激励力作用下45钢和功能梯度材料层合板的非线性振动方程，对不同边界条件下的主共振进行了分析。弥补了单一材料在其性能方面的不足，对材料的制备及实际工程应用提供了一定的理论参考。

1 建立功能梯度层合板的横向振动微分方程

本文以功能梯度层合板为研究对象(如图1所示)，中间层为弹性基体材料，上下层为功能梯度材料。其中基体材料为45钢，功能梯度材料为氧化锆-铝功能梯度材料。建立直角坐标系O-xyz(xOy面为薄板的中面，z为法向)。假设板的长为Lx，宽为Ly，基体材料和功能梯度材料的厚度分别为hm、hp，在简谐激励力Q(t)作用下做横向强迫振动。

图1 功能梯度层合矩形薄板结构

由Hamilton原理可得：

(1)

其中：δ为变分符号；T1，U1表示基体材料的动能和势能；T2、U2表示功能梯度材料的动能和势能；W为机械力做的功，表达式为

(2)

基体材料的本构方程[11]为：

(3)

根据大挠度理论，基体材料的位移与应变的关系为：

(4)

假设功能梯度材料呈体积分数变化，在Hamilton原理的基础上，以层合板的上半部分为对象建立应力应变关系[12]：

(5)

式中：n0为幂率指数;下角标c和m分别代表功能梯度板的下表面和上表面；hp为板厚。

根据薄板变形理论，板内各点的应变分量表达式如下：

(9)

(10)

(11)

其中：{ε0}为中面的应变；{κ}为中面曲率和扭率的改变量。

根据Rayleigh-Ritz假设模态法，令

(12)

其中：φu、φv、φw分别为振型函数；X(t)为广义坐标。

若令

(13)

由以上各式可得T1、T2、U1、U2的表达式：

结合式(13)，经过复杂的运算得到方程：

2K2X3(t)-K3Q(t)=0

(14)

式(14)中各系数的表达式如下：

其中：

因为在实际应用中有阻尼的存在，所以此处采用黏性阻尼[13]。设阻尼矩阵C=αmM+αkK，其中αm、αk为阻尼系数。令Q(t)=Q0cosωt，Q0为简谐力的幅值，将其代入式(14)得到

2K2X3(t)-K3Q0cosωt=0

(15)

(16)

令量纲为1的频率λ=1+εθ，引入小参量ε及激励频率失调参数θ，当θ=0时，系统发生主共振。

由于阻尼力、非线性力、外部刺激与线性力相比为相对小量，根据量纲设定原则，将阻尼项、非线性刚度项、含cosλτ的激励项认定为1阶小量，则式(16)可改写为

(18)

用多尺度法解上面的量纲为1方程，可得：

幅频方程

(19)

相频方程

(20)

2 数值仿真及分析

选取基体材料为45钢(ρ=7 850 kg/m3，E=210 GPa)功能梯度材料氧化锆-铝(氧化锆的材料参数E=151 GPa,υ=0.3,ρ=3 000 kg/m3铝的材料参数E=70 GPa,υ=0.3,ρ=2 707 kg/m3)组成的功能梯度层合板为研究对象，其中板长Lx=400 mm，宽Ly=200 mm，板厚hm=0.2 mm，hp=0.2 mm。

对于满足四边简支、三边简支一边自由、两边简支两边固定的层合板的振型函数[14]为：

(21)

当激励频率失调参数θ=0时系统发生共振，通过式(1)(12)(19)可得不同边界条件下各参数对主共振及系统幅频响应的影响，见图2～6。

图3 不同边界条件下的幅频响应曲线(Q0=1, μ=0.05, n0=1)

图4 Q0变化时的幅频响应曲线(μ=0.05, n0=1)

图2为Q0=0 N,μ=0.05,n0=1时不同边界条件下机械力幅值对振动幅值的影响曲线。由图可知：随着简谐力幅值的增大，系统的振动幅值也相应增大，其中三边简支一边自由对功能梯度层合板的约束最弱，所以它的振幅最大，其次是四边简支，最后是两边简支两边固定。这一结果也符合板壳力学理论。图3为Q0=1,μ=0.05,n0=1时不同边界条件下系统的幅频响应曲线，从图中可以看出：随着约束的增大系统的振动幅值变小。图4为四边简支下μ=0.05,n0=1时机械力对系统幅频响应的影响曲线，当Q0=1时系统的非线性特征极其不明显，随着Q0的增大系统开始出现非线性特征。还可以看出：随着Q0的增大系统的主共振区间增大，曲线向左弯曲的程度增大，系统呈现出多值、跳跃现象，且Q0越大，系统跳跃幅值越大。图5为四边简支下Q0=5 N,n0=1时阻尼对系统幅频响应的影响曲线，由图可以看出：阻尼越小系统的振动幅值越大，非线性特征越明显，同时出现多值、跳跃现象。图6为四边简支下μ=0.05,Q0=5 N时幂率指数对系统幅频的影响曲线，图中n0=4时系统的非线性特征不明显，n0=1时出现多值、跳跃现象，系统呈现出明显的非线性特征。随着幂率指数n0的减小，系统的主共振区间增大。

图5 μ变化时的幅频响应曲线(Q0=5 N, n0=1)

图6 n0变化时的幅频响应曲线(μ=0.05, Q0=5 N)

3 结束语

[1] KOIZUMI M.The concept of FGM[J].Ceramic Transactions Functionally Gradient Material，1993，34:3-10.

[2] PRAVEEN G N,REDDY J N.Nonlinear transient thermoelastic analysis of functionally graded ceramic-metal plates[J].Intemational Joumal of Solids and Structures,1998,35(33):4457-4476.

[3] 陈伟球,叶贵如,蔡金标，等.横观各向同性功能梯度材料矩形板的自由振动[J].振动工程学报,2001,14(3):19-23.

[4] 杜长城,李映辉.功能梯度矩形板的非线性自由振动[J].力学季刊,2010,31(2):250-255.

[5] 夏贤坤,沈惠申.功能梯度材料剪切板屈曲后的自由振动[J].固体力学学报,2008,29(2):129-133.

[6] 张小广,胡宇达.四边固支功能梯度矩形板的主共振分析[J].振动与冲击,2011,30(6):153-157.

[7] CHEN C S.Nonlinear vibration of a shear deformable functionally graded plate[J].Composite Structures,2005,68(3):295-302.

[8] CHEN C S,CHEN T J,CHIEN R D.Nonlinear vibration of initially stressed functionally graded plates[J].Thin-Walled Structures,2006,44(8):844-851.

[9] NG T Y,LAM K Y,LIEW K M.Effects of fgm materials on the parametric resonance of plate structures[J].Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering,2000,190(8/9/10):953-962.

[10]NG T Y,LAM K Y,LIEW K M,et al.Dynamic stability analysis of functionally graded cylindrical shells under periodic axial loading[J].Intemational Journal of solids and Structures,2001,38(8):1295-1309.

[11]毛慧娜,陶伟明.多铁性复合材料动态耦合响应的有限元分析[J].材料科学与工程学报,2013,31(3):464-467.

[12]HUANG X L,SHEN H S.Nonlinear vibration and dynamic response of functionally graded plates in thermal environments[J].International Journal of solids and Structures,2004,41(9/10):2403-2407.

[13]胡宇达,杜国君.磁场环境下导电圆形薄板的磁弹性强迫振动[J].工程力学,2007,24(7):184-188.

[14]陈熹,薛春霞.电压激励下四边简支压电层合板的振动分析[J].材料科学与工程学报,2015,33(5):759-763,775.

(责任编辑 陈 艳)

Nonlinear Principal Resonance of Functionally Graded Laminates

LIU Zhi-qiang, XUE Chun-xia

(College of Science, North University of China, Taiyuan 030051, China)

Taking the middle layer as the substrate material and the upper/lower as symmetrical laminated plate composed of functionally graded materials as the research object, and according to the theory of large deflection and deformation plate theory, we used Hamilton principle and Rayleigh-Ritz method to derive the action of harmonic mechanical force of FGM laminated thin plate nonlinear vibration equation. The nonlinear vibration equation is solved by using multi-scale method, and the amplitude-frequency response equations of laminated plates are obtained. Matlab was used to study the different boundary conditions of laminated plates of primary resonance problem, and we analyzed the impact of these factors on the primary resonance by changing the size of the damping, the mechanical strength and so on.

functional gradient laminated plate；Hamiltonian principle；nonlinear vibration；Matlab

2017-02-18 基金项目：国家自然科学基金资助项目(11202190)；教育部留学回国人员科研资助项目；山西省回国留学人员科研资助项目(2013-085)

刘志强(1988—)，男，硕士研究生，主要从事功能梯度材料的非线性力学研究，E-mail:420892328@qq.com; 通讯作者 薛春霞(1973—)，女，教授，主要从事磁电弹材料的非线性力学研究，E-mail:xuechunxia@nuc.edu.cn。

刘志强，薛春霞.功能梯度层合板的主共振[J].重庆理工大学学报(自然科学)，2017(5):49-54.

format：LIU Zhi-qiang, XUE Chun-xia.Nonlinear Principal Resonance of Functionally Graded Laminates[J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science)，2017(5):49-54.

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2017.05.009

TB34

A

1674-8425(2017)05-0049-06