切换拓扑下离散时间多智能体系统的包含控制

唐朝君

(重庆理工大学 理学院，重庆 400054)



切换拓扑下离散时间多智能体系统的包含控制

唐朝君

(重庆理工大学 理学院，重庆 400054)

研究具有多个领导智能体的离散时间多智能体系统的包含控制问题。首先，对于系统中的跟随智能体提出了一个分布式的控制协议；其次，主要利用非负矩阵理论和代数图论的知识，分别给出了固定网络拓扑和切换网络拓扑下系统解决包含控制问题的拓扑条件；最后，数值模拟结果验证了理论结果的正确性。

多智能体系统；包含控制；切换拓扑；离散时间系统；分布式控制

多智能体系统是近年来迅速发展起来的一门新兴的复杂系统控制科学，它的研究涉及数学、控制、计算机、通信、生物和人工智能等多个学科，并得到了来自这些领域研究学者的广泛关注。同时，由于它在传感器网络、无人驾驶飞行器、移动机器人、自治水下潜艇、编队控制、人造卫星簇的姿态调整等诸多领域有着广泛的应用，对多智能体系统的研究已经成为当前系统控制领域研究的前沿和热点课题。包含控制是多智能体系统研究中的一个重要子课题。所谓包含控制是指一群具有自治性的智能体在一定的网络拓扑结构和外界环境下通过交换局部邻居信息聚集到某一个给定的静止或移动的目标区域内。

目前，对包含控制的研究已得到了一些有趣的结果。Ji,Egerstedt等[1]采用1阶偏微分方程建立了包含控制模型，提出了基于Go-To策略的包含控制策略，使跟随者最终达到由领导者生成的凸包内。Cao等[2]在Ji等的研究成果上研究了固定和切换有向拓扑下的1阶连续多智能体系统的包含控制问题。温广辉等[3]主要利用非光滑控制的方法对具有不确定线性动力学模型的多智能体系统进行了研究。利用H∞控制理论中的规范投影引理，Li等[4]对具有一般线性动力学的连续时间和离散时间的多智能体系统建立了基于观测的包含控制模型。Liu和Kan等[5-6]研究了随机网络拓扑下的包含控制问题。Liu等[7]研究了基于事件触发机制的包含控制问题。在这些研究结果中，往往假设系统的通信拓扑是固定的，或者每个时刻系统的通信拓扑都是连通的，对系统的通信拓扑的要求比较强。在实际应用当中，由于智能体的位置不断变化，智能体之间的通信还会受到障碍物的影响，智能体之间的通信会出现中断和重新连接的情况。因此，对切换拓扑下包含控制的研究就显得尤为重要。此外，系统的通信拓扑可能一直都是不连通的，寻找解决包含控制的最弱的拓扑条件也是非常必要的。

1 预备知识

多智能体系统的通信拓扑用有向图G=(V,E)表示，其中：V={1,2,…,n}为顶点集合，顶点i代表第i个智能体；E={(i,j)|i,j∈V}为边集，若智能体j能直接获取智能体i的信息，则(i,j)∈E，否则(i,j)∉E。若(j,i)∈E，则称顶点j是顶点i的邻居或智能体j是智能体i的邻居。从顶点i1到ik的一条有向路由一系列不同的顶点i1,i2,…,ik构成，且这些顶点满足(ij-1,ij)∈E,j=2,3,…,k。如果有向图G中至少有一个顶点到其他任何顶点都有有向路，则称有向图G包含生成树。

加权有向图G(A)由有向图G和非负矩阵A=[aij]∈Rn×n构成，满足aij>0⟺(j,i)∈E，其中矩阵A称为邻接矩阵，aij称为边(j,i)的权重。加权有向图G(A)的Laplacian矩阵L=[lij]∈Rn×n定义为

Laplacian矩阵在多智能体系统协调控制的研究中具有非常重要的作用，它具有以下性质：

引理1[8]0是矩阵L的特征值，e=(1,1,…,1)T是对应的特征向量；若G包含生成树，则0是代数简单的，且其他特征值的实部全大于0。

2 模型描述和主要结论

设所研究的多智能体系统含有n个智能体，用F={1，2，…，m}和R={m+1,m+2,…,n}分别表示跟随智能体和领导智能体的集合。系统中跟随智能体的动力力学模型为：

(1)

其中：k=0,1,2,…，xi(k)∈RN是跟随智能体i在时刻k的状态；aij(k)是k时刻边(j,i)的权值。假设领导智能体的位置保持不变，即相应的动力学模型为

(2)

其中xi(k)∈RN是领导智能体i在时刻k的状态。为研究方便，设N=1，利用Kronecker积，后面的结论容易推广到高维情形。

定义1 如果

(3)

其中D(k)=[dij(k)]∈Rn×n。

假设系统中每个智能体都能获取自身的状态信息，即aii(k)>0。矩阵D(k)可写成分块矩阵的形式

其中D1(k)∈Rm×m,D2(k)∈Rm×(n-m)。令

其中α(k)=D2(k)e。

为了得到主要结论，需要下面的几个结论：

引理3[9]设m≥2是一个正整数，P1,P2,…,Pm是n阶的非负矩阵，且对角线元素均大于0，则

其中γ的值由矩阵P1,P2,…,Pm来确定。

引理4[8]设A=[aij]∈Rn×n是一个随机矩阵，且对角线元素全大于0。如果Γ(A)包含生成树，则矩阵A为SIA矩阵。

首先考虑通信拓扑固定不变的情形，此时式(3)变为

x(k+1)=Dx(k)

定理1 设系统的通信拓扑G包含联合生成树，则系统解决包含控制问题，且

(4)

其中

由于

故

由x(k)=Dkx(0)易得式(4)。

由于(I-D1)-1D2e=e和(I-D1)-1非负，因此由式(4)可得

即系统解决包含控制问题。

注1 从定理1可以看到：对于固定拓扑的情形，跟随智能体的状态最终趋于由领导智能体的状态所生成的凸包内，而且各个跟随智能体的状态将趋于一个固定值。

接下来考虑切换拓扑的情形，可得以下结论：

证明 该证明的部分思想源于文献[8],这里考虑的是具有多个领导智能体的包含控制问题。

注2 从定理2的证明可以看出：当系统的通信拓扑是切换拓扑时，虽然跟随智能体的状态最终趋于领导智能体生成的凸包内，但各跟随智能体的状态将随时间不断变化。

3 数值仿真

在二维空间中考虑包含控制，设多智能体系统含有5个跟随智能体(用顶点1～5表示)和3个领导智能体(用顶点6～8表示)，系统所有可能的通信拓扑为G1、G2、G3，如图1所示，并按照顺序依次变化。假设图中所有边的权值均为1。领导智能体的位置和跟随智能体的初始位置随机取定。跟随智能体的位置随时间的变化轨迹如图2所示。从图2可以看出：跟随智能体的状态最终趋于领导智能体所构成的凸包内(红色三角形区域为领导智能体的位置所构成的凸包)。

图1 系统的通信拓扑

图2 跟随智能体的状态轨迹

4 结束语

利用矩阵理论和代数图论的方法研究了具有切换网络拓扑的离散时间多智能体系统的包含控制。对于固定网络拓扑，当系统的通信拓扑包含联合生成树时，所给的协议解决包含控制问题，而且系统中所有跟随智能体的状态各自趋于一个固定的值。对于切换网络拓扑，当系统的通信拓扑包含联合生成树时，所给的协议解决包含控制问题，此时各跟随智能体的状态将随时间不断变化，可能不会趋于一个固定值。本研究成果极大地减弱了包含控制中对系统通信拓扑的限制，进一步丰富了包含控制的理论。

[1] JI M,FERRARI-TRECATE G,EGERSTEDT M,et al.Containment control in mobile networks[J].IEEE Transaction on Automatic Control,2008,53(8):1972-1975.

[2] CAO Y,REN W.Containment control with multiple stationary or dynamic leaders under a directed interaction graph[C]//IEEE Conf.Decision Control,Shanghai,IEEE,2009:3014-3019.

[3] WEN G,DUAN Z,ZHAO Y,et al.Robust containment tracking of uncertain linear multiagent systems:a non-smooth control approach[J].International Journal of Control,2014,87(12):2522-2534.

[4] LI Z,REN W,LIU X.Distributed containment control of multi-agent systems with general linear dynamics in the presence of multiple leaders[J].International Journal of Robust and Nonlinear Control,2013,23:534-547.

[5] LIU S,XIE L,ZHANG H.Mean square containment control of multi-agent systems with transmission noises[J].Acta Automatica Sinica,2013,39(11):1787-1794.

[6] KAN Z,SHEA J M,DIXON W E.Leader-follower containment control over directed random graphs[J].Automatica,2016,66:56-62.

[7] LIU K,JI Z,XIE G,et al.Event-based broadcasting containment control for multi-agent systems under directed topology[J].International Journal of Control,2016,89(11):2360-2370.

[8] REN W,BEARD R W.Consensus seeking in multiagent systems under dynamically changing interaction topologies[J].IEEE Transactions on Automatic Control,2005,50(5):655-661.

[9] JADBABAIE A,LIN J,MORSE A S.Coordination of groups of mobile autonomous agentsusing nearest neighbor rules[J].IEEE Transactions on Automatic Control,2003,48(6):988-1001.

[10]WOLFOWITZ J.Products of indecomposable,aperiodic,stochastic matrices[J].The American Mathematical Society,1963,15(5):733-737.

(责任编辑 陈 艳)

Containment Control of Discrete-Time Multi-Agent Systems with Switching Topologies

TANG Zhao-jun

(College of Science, Chongqing University of Technology, Chongqing 400054, China)

Containment control of discrete-time multi-agent systems with multiple leaders is investigated. Firstly, a distributed control protocol is proposed for the follower-agents in the system. Secondly, conditions on the topology are derived under both fixed topology and switching topologies by employing theory of nonnegative matrix and algebraic graph. Finally, numerical simulations are provided to illustrate the effectiveness of the theoretical results.

multi-agent system; containment control; switching topology; discrete-time system；distributed control

2017-01-18 基金项目：重庆市教委科学技术研究项目(KJ1600915);重庆市基础与前沿研究计划项目(cstc2016jcyjA0396)

唐朝君(1979—),男,河南郑州人,博士,讲师,主要从事多智能体系统协调控制研究，E-mail:zhaojuntang@163.com。

唐朝君.切换拓扑下离散时间多智能体系统的包含控制[J].重庆理工大学学报(自然科学)，2017(5):143-147.

format：TANG Zhao-jun.Containment Control of Discrete-Time Multi-Agent Systems with Switching Topologies[J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science)，2017(5):143-147.

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2017.05.024

TP18;O231

A

1674-8425(2017)05-0143-05