数形结合思想在高中数学教学中的应用

韩玉红

摘要：数形结合思想贯穿着整个高中数学内容的始终，同时它在高考中占有非常重要的地位。所谓数形结合思想，就是在研究问题时把数和形结合起来考虑。通过“以形助数，以数解形”，能够使复杂问题简单化，抽象问题具体化。在应用数形结合思想方法的同时注意遵循等价性原则、双向性原则、简单性原则。

关键词：数形结合思想方法 数学解题 应用策略

一、引言

数学思想是数学的灵魂，是数学知识的高度概括，是学生解决问题的手段。最常用的数学思想有函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想。其中，数形结合思想在数学中的地位尤为重要，是数学思想方法的精髓之一。我国著名数学家华罗庚先生在1964年1月撰写的《谈谈与蜂巢的结构有关的数学问题》用一首诗完美的阐述了数形结合的价值和本质，即“数形本是相倚依，焉能分作两边飞。数缺形时少直觉，形缺数时难入微。数形结合百般好，隔裂分家万事休。几何代数统一体，永远联系莫分离。”

数形结合思想的应用十分广泛，运用数形结合思想可以解决高中数学中的与集合、函数、方程与不等式、三角函数、向量、线性规划、数列、解析几何、立体几何等有关的问题。纵观历年高考题，数形结合思想在历年高考题中的体现逐渐加强。高中数学教学应该培养学生数形结合的解题思想，使学生在解题时有效的运用数形结合思想，做到举一反三、触类旁通。

二、数形结合方法的应用原则

数形结合的思想方法中数与形相互转化时，要借助于基本的知识和方法才能实现，如果对基本知识和方法了解不深刻，就会容易犯错。高中数学教学应用数形结合思想方法需要掌握以下原则。

1.等价性原则

在数形结合的过程中，数和形的转化要遵循等價原则，即数和形所反应的对应关系是一一对应的。注意转化过程要等价，避免定义域扩大或缩小。在画图时，注意对交点，极大（小）值点，最大（小）值点，数轴等的精确描绘。

2.双向性原则

在运用数形结合思想解题时，进行几何直观分析时应该与代数计算相结合，“以形助数，以数解形”，用直观的几何反应抽象的公式，用精确的代数规范几何图形。

3.简单性原则

“以形助数”进行由数到形的转换时，应尽可能使构造的图形简单、易懂。“以数解形”在代数计算中尽量避免繁琐复杂的计算。

三、数形结合思想解决的问题

数形结合思想是高中数学教学中解题的主要方法之一，下面是利用该方法可以解决的高中数学问题。

（1）解决集合问题。在关于集合之间的关系和运算的教学中，使用Venn图是重要的，有助于学生学习、掌握、运用集合语言和其他数学语言。

（2）解决函数问题。函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。要求掌握几种不同增长的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、反函数等），另外，数形结合还可以解决函数和方程的解的问题。

（3）解决方程与不等式问题。处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数的交点问题；处理不等式时，从题目的条件和结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路。

（4）解决三角函数问题。单位圆是研究三角函数的重要工具，借助它的直观，可以使学生更好地理解三角函数的概念和性质，体现了数形结合的思想。

（5）解决线性规划问题。线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值的问题，在解题时注意运用数形结合思想。

（6）解决数列问题。数列是一种特殊的函数，数列的通项公式和前n项和的公式可以看作关于正整数n的函数，借助函数图像对数列进行直观分析。

（7）解决解析几何问题。解析几何的本质是用代数方法研究图形的几何性质。解析几何的研究对象是几何图形（平面解析几何研究的是曲线），研究方法是用代数方法研究几何解析几何所要解决的主要问题有两个：一是根据结合几何性质求出曲线的方程，这体现了几何向代数的转化；二是根据方程研究曲线，这体现了由代数向几何的转化。

（8）解决立体几何问题。教师可以使用具体的长方形的点、线、面之间的关系作为载体，使学生在直观感知的基础上认识空间中的一般的点、线、面之间的位置关系，通过对图形的观察、实验和说理，使学生进一步了解平行、垂直关系的基本性质和判定方法。立体几何中用坐标的方法将点、线、面的性质和相互关系的问题转化为纯粹的代数问题。

四、数形结合思想在高中教学中的典型应用

分析：此题根据数形结合思想，讲求函数的值域问题转化为

几何图形问题，把利用几何图形的性质把结论还原到函数问题。

此题最关键的是对函数的转化，如果学生对距离公式有比较深刻的认识，那么就能够解出这种类型的题。

分析：单位圆是表示三角函数的重要依托，本题将分式转化为斜率，使解题过程清晰、简明。此外，以后解题时遇到平方和式可转化为距离，分式可转化为斜率。

分析：通过已知，在坐标上画图，在解题时设的未知量在图像中用辅助线表示出来，再将所得的未知点带入方程中，求得结果即可，体现了数形结合的思想。向量具有两个明显的特点—“形”的特点和“数”的特点，这就使得向量成了数形结合的桥梁，向量的坐标实际是把点和数联系了起来，进而可把曲线与方程联系起来。这样就可以用代数方程研究几何问题，同时也可以用几何的观点处理某些代数问题，在教学中注意这种思想方法的运用。

五、结语

综上所述，数形结合思想应用十分广泛。在解题时对于某些较复杂的问题，可以运用数形结合思想将复杂的问题转化为简单的问题求解，大大简化了解题过程，尤其在选择题和填空题中更有其优越性。因此，在日常的教学中，教师要注意培养学生应用数形结合思想的意识，灵活运用数形结合，提高解题能力。

参考文献：

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[2]顾亚萍.数形结合思想方法之教学研究[D].南京师范大学，2004.

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