随机利率下基于Tsallis熵及O-U过程的幂式期权定价

王永茂， 李 丹， 魏 静

(燕山大学 理学院 河北 秦皇岛 066004)

随机利率下基于Tsallis熵及O-U过程的幂式期权定价

王永茂， 李 丹， 魏 静

(燕山大学 理学院 河北 秦皇岛 066004)

为了准确描述股票价格的变化规律，对经典的Black-Scholes期权定价模型进行改进，利用具有尖峰厚尾和长期相依特征的Tsallis熵分布、具有均值回复性的O-U过程，建立股票价格的变化模型，在无风险利率服从Vasicek模型下，运用随机微分和等价鞅测度的方法得到了幂式期权的定价公式，推广了经典的Black-Scholes定价理论，扩展了已有文献的结论.

Tsallis熵； Vasicek模型； O-U过程； 鞅

0 引言

1973年发表的Black-Sholes期权定价模型[1]是期权定价理论的基础，但是B-S模型的假设过于严格，它假设股票价格服从几何布朗运动.几何布朗运动刻画的资产价格运行模式意味着资产价格变化是相互独立的随机变量，收益率服从正态分布而且不具有历史记忆性.然而，近年来国内外大量研究表明，资产收益率的分布具有尖峰厚尾的现象和长期相依的性质[2].另外，从长期来看，资产价格的变化有回到其长期平均值的倾向，不少学者采用具有均值回复性的O-U过程来刻画资产价格的变化规律，如文献[3]利用精算方法得到了O-U过程的欧式期权的定价公式.

文献[4]提出了非广延Tsallis熵理论.Tsallis熵分布可以用来描述具有非线性、长程相互作用和长期记忆效应的复杂系统.文献[5]利用Tsallis熵分布对不同国家的股票收益率进行研究，得知Tsallis熵分布可较好的拟合股票的收益率分布. 文献[6]利用Tsallis熵理论对我国股市进行了研究，得知我国股市的价格过程并不符合随机游走，而是服从反常扩散过程，具有明显的非线性动力系统特征.

考虑到在现实的金融市场中，利率在短时间内往往表现出一定的随机性，但长远来看，其变化有向均衡水平靠拢的趋势，故本文在传统期权定价研究方法的基础上，采用Vasicek模型来刻画利率的变化规律，用最大化Tsallis熵分布和O-U过程来刻画股票价格的变化规律，运用等价鞅测度方法，研究了风险环境下幂式期权的定价问题.

1 股票价格模型

考虑一个连续时间的无摩擦金融市场，假设市场上存在两种可交易金融资产：一种是无风险债券；另一种是风险资产股票.假设在t时刻的股票价格S(t)满足随机微分方程

dS(t)=(μ-blnS(t))S(t)dt+σ1S(t)dΩ(t)，

(1)

该概率密度函数P(Ω,t)满足非线性Fokker-Planck方程[7]

其对应微观尺度下的Ito-Langevin方程为

(2)

故在概率测度Q下，S*(t)为鞅.

2 利率模型

在等价鞅测度Q下，市场为风险中性，此时假设利率r(t)服从Vasicek模型，即满足随机微分方程

dr(t)=a(θ-r(t))dt+σ2dBQ(t),r(0)=r0,

(3)

其中:{BQ(t)：0≤t≤T}是Q上的标准布朗运动，与{WQ(t)：0≤t≤T}独立；θ为常数，表示长期均衡的利率水平；a为调整短期和长期利率关系的平均回复率；σ2为利率的波动率.

引理4[8]若随机利率r(t)服从Vasicek模型，即满足随机微分方程(3)，则有

(4)

3 幂式期权定价

本文研究的幂式期权形式如下：

定理1 若股票价格S(t)满足随机微分方程(1)，随机利率服从Vasicek模型(3)，且股票无红利支付，则到期日为T. 执行价格为K的幂式看涨及看跌期权在0时刻的价格分别为：

(5)

(6)

其中:

引理2中的(2)式取对数，同时将(4)式代入可得到期权执行的充要条件S(T)>K，等价于

(7)

由引理3可得

(8)

(9)

将式(8)和(9)代入(7)式可得期权执行的充要条件为

所以有:

对上述两式相减则可得幂式看涨期权定价式(5)，同理可得该模型下幂式看跌期权的定价公式(6).

注 1) 当q=1,b=0,λ=1时，由定理1可得Vasicek利率模型下经典B-S模型的欧式期权定价公式.

2) 当b=0,λ=1时，由定理1可得Vasicek利率模型下基于最大化Tsallis熵的欧式期权定价公式.

3) 当q=1,λ=1时，由定理1可得Vasicek利率模型下基于O-U过程的欧式期权定价公式.

4 结束语

文章对传统期权定价模型进行改进，结合具有长程记忆及统计反馈性质的Tsallis熵分布和具有均值回复特征的O-U过程，通过等价鞅测度方法，得出了Vasicek随机利率模型下的幂式期权定价公式.与文献[8]和文献[9]的结论相比，本文结论综合考虑了Tsallis熵、O-U过程和随机利率对期权定价的影响，丰富了期权定价的相关结论.

[1] BLACK F，SCHOLES M．The pricing of options and corporate liabilities[J]．Journal of political economy，1973，81(3)：133-155.

[2] 陈倩，李金林，张伦．基于g-h分布的上证指数收益率分布拟合研究[J]．中国管理科学，2008，16：226-230.

[3] 闫海峰，刘三阳．股票价格遵循Ornstein-Uhlenback过程的期权定价[J]．系统过程学报，2003，18(6)：547-551.

[4] TSALLIS C．Possible generalization of Boltzmann-Gibbsstatistics[J]．Journal of statistical physics，1988，52(1)：479-487.

[5] MICHAEL F，JOHNSON M D．Financial market dynamics[J]．Physica A： statistical mechanics and its applications，2003，320(c)：525-534.

[6] 张磊，苟小菊．基于Tsallis理论的中国股市收益分布研究[J]．运筹与管理，2012，21(3)：200-205.

[7] BORLAND L．A theory of non-Gaussian option pricing [J]．Quantitative finance，2007，2(6)：415-431.

[8] 赵攀，肖庆宪．随机利率下基于O-U过程的幂型欧式期权定价[J]．合肥工业大学学报(自然科学版)，2014，37(11)：1386-1390.

[9] 赵攀，肖庆宪．基于Tsallis分布的欧式期权定价[J]．系统工程，2015，33(1)：18-23．

(责任编辑：方惠敏)

Pricing of Power European Options Based on Tsallis Entropy and O-U Process under Stochastic Interest Rate

WANG Yongmao， LI Dan， WEI Jing

(CollegeofScience，YanshanUniversity，Qinhuangdao066004，China)

The classical Black-Scholes option pricing model was improved in order to accurately describe the fluctuation of stock price.Thus, the distribution of Tsallis entropy, which had fat-tailed and long-term dependent characteristics,and O-U process were selected to describe the law of the stock prices fluctuation. By using the stochastic differential and martingale under the Vasicek interest rate model, the pricing formulas of power European options were obtained. The formulas not only generalized the classical Black-Scholes conclusion, but also corroborated the conclusions in the other literature.

Tsallis entropy； Vasicek interest rate model； O-U process； martingale

2016-10-09

廊坊市科技局科学技术研究项目(2016011031)．

王永茂(1958—)，男，河北秦皇岛人，教授，主要从事寿险精算、概率论研究；通信作者：李丹(1989—)，女，山西运城人，主要从事保险定价理论研究，E-mail:245514309@qq.com.

O211.6；F830.9

A

1671-6841(2017)03-0001-04

10.13705/j.issn.1671-6841.2016261