具有面内四极磁场的旋转玻色-爱因斯坦凝聚体的基态结构研究∗

刘静思 李吉† 刘伍明

1)(中国科学院物理研究所,北京凝聚态物理国家实验室,北京 100190) 2)(中国科学院大学物理学院,北京 100190)

具有面内四极磁场的旋转玻色-爱因斯坦凝聚体的基态结构研究∗

刘静思1)2)李吉1)2)† 刘伍明1)2)

1)(中国科学院物理研究所,北京凝聚态物理国家实验室,北京 100190) 2)(中国科学院大学物理学院,北京 100190)

(2017年4月1日收到;2017年4月13日收到修改稿)

通过虚时演化方法研究了具有面内四极磁场的旋转玻色-爱因斯坦凝聚体的基态结构.结果发现：面内四极磁场和旋转双重作用可导致中央Merm in-Ho涡旋的产生;随着磁场梯度增强,M erm in-Ho涡旋周围环绕的涡旋趋向对称化排布;在四极磁场下,密度相互作用和自旋交换相互作用作为体系的调控参数,可以控制M erm in-Ho涡旋周围的涡旋数目;该体系自旋结构中存在双曲型meron和half-skyrm ion两种拓扑结构.

旋转玻色-爱因斯坦凝聚体,面内四极磁场,自旋交换相互作用,自旋结构

1 引 言

光阱束缚下的旋量玻色-爱因斯坦凝聚体(BEC)[1,2],由于内部自旋自由度的释放,为我们提供了研究拓扑激发的理论和实验平台[3-7].近年来,人们广泛研究了具有旋转的旋量BEC基态结构.实验方面,Ketterle等[8]借助光束搅动凝聚体直接观察到涡旋形核.Foot等[9]在旋转光晶格中也发现了涡旋形核现象.随后一些实验组进一步观察到涡旋晶格的形成[10,11].理论方面,一些研究者详细讨论了塞曼磁场和旋转势共同作用下旋量 BEC的基态相图和其中产生的新奇拓扑激发[12-15].例如,Kita等研究了铁磁BEC中M erm in-Ho涡旋[14]和非轴对称的涡旋态[15], M izushima等[13]系统地探讨了旋量BEC中的涡旋结构包括无芯涡旋和有芯涡旋晶格.迄今为止,在旋转条件下关于拓扑激发的大量研究都集中在均匀塞曼场或无外磁场作用下的BEC体系,但在梯度磁场下旋转BEC的基态结构依然不清晰.

最近,梯度磁场在BEC中的研究已经受到了越来越多的关注.有研究者通过控制梯度磁场可以产生人造自旋-轨道耦合,而传统方案[16,17]则需要依赖复杂的物质光耦合才能实现.也有研究者利用梯度磁场方案实现了光晶格体系中的自旋-轨道耦合和量子霍尔效应[18,19].此外,在BEC中通过梯度磁场方法,实验上观察到了不同的拓扑缺陷,例如磁单极[20,21]和量子扭结[22].上述研究表明,梯度磁场对于人造规范场和新奇拓扑缺陷的产生起到了很关键的作用.

本文研究四极型面内梯度磁场对旋转BEC基态的影响.数值结果表明,面内四极磁场和旋转的双重作用可导致中央Merm in-Ho涡旋的产生,面内四极磁场可以保护Merm in-Ho涡旋免受铁磁相互作用的破坏.增加磁场梯度强度,Merm in-Ho涡旋周围的涡旋数目将逐渐减少并趋向对称化排列.在四极磁场下,调控自旋交换相互作用与密度相互作用比值,使其单调增大,涡旋构形将依次发生六角、五角、四角、三角的转变.当比值很大时,体系中仅存在M erm in-Ho涡旋.最后,我们还讨论了基态的自旋结构,发现四极磁场和旋转共同作用能够诱导双曲型meron和half-skyrm ion.

2 理论模型

考虑面内四极磁场和旋转作用下的二维铁磁BEC,在平均场近似下,系统哈密顿量可写为[12,13,23-25]：

3 研究结果与讨论

首先讨论磁场梯度强度对系统基态的影响.为了突出梯度磁场带来新的效应,我们固定粒子间相互作用和旋转频率,只改变磁场梯度强度大小,利用虚时演化方法数值模拟得到不同磁场梯度下对应的基态结构.基态粒子数密度和相位分布如图1所示.第1,2,3列分别为mF=1,mF=0和mF=-1分量的密度分布,第4,5,6列为对应的相位分布.相位分布图中存在许多相位割线,从割线红色一侧到蓝色一侧相位存在从π到-π的不连续跳变.相位割线端点对应密度分布图中的密度极小值点,即为涡旋核.发现体系共存在两类涡旋,一类为中央M erm in-Ho涡旋[13,14],其mF=1和mF=0分量中央分别出现缠绕数为2和1的涡旋,而mF=-1分量中央则出现一个亮孤子,其缠绕数为0,所以中心处的序参量类似于铁磁态的(0 0 1)T.另一类为周围环绕排列的普通涡旋,对应的三个自旋态的涡旋缠绕数都是1.

当体系没有磁场作用时,如图1(a)所示,凝聚体各个自旋组分都出现了呈带状分布的普通涡旋,类似于之前研究工作中提到的涡旋列[33].引入较小的磁场梯度B=0.08,如图1(b)所示,凝聚体中心形成M erm in-Ho涡旋,普通涡旋仍然呈带状分布,但与无磁场的情况相比更趋于规则化排列.进一步将磁场梯度增强到B=0.6,普通涡旋数量明显减少,并形成对称的六角形排列,如图1(c)所示.在强磁场梯度B=3.8作用下,凝聚体内只存在M erm in-Ho涡旋,如图1(d)所示.

图1 (网刊彩色)不同面内四极磁场下87 Rb凝聚体基态粒子数密度分布(第1,2,3列)和相位分布(第4,5,6列) (a)B=0; (b)B=0.08;(c)B=0.6;(d)B=3.8;其余模拟参数选为λ0=7500,λ2=-750,Ω=0.3和ω=2π×250 HzFig.1.(color on line)The particle num ber densities(the fi rst second and third colum ns)and phase distributions(the fou rth fi fth and sixth colum ns)of ground state of the spinor BEC of 87 Rb for the different in-p lane quad rupole fields.The param eters are set as follow s:(a)B=0;(b)B=0.08;(c)B=0.6;(d)B=3.8;the other param eters areλ0=7500, λ2=-750,Ω=0.3 andω=2π×250 Hz.

数值结果显示,在旋转BEC中只要四极磁场存在,凝聚体中心就会出现M erm in-Ho涡旋.但随着磁场梯度增强,M erm in-Ho涡旋四周环绕的普通涡旋数目将逐渐减少,最终普通涡旋都会消失.涡旋数目的减少是由面内磁场对磁矩的翻转作用造成的.由下文自旋结构的讨论可知,普通涡旋总是关联着自旋的剧烈翻转和起伏,这使得自旋偏离面内.而面内四极磁场又会对磁矩施加一个力矩,使自旋偏向面内与磁场平行的方向.因此,面内磁场对涡旋的产生起抑制作用,而旋转又促进涡旋的产生,两种作用相互竞争.磁场梯度很强时,抑制作用占主导地位,所以普通涡旋数目变少.

此外,随着磁场梯度增强,普通涡旋趋于规则化排列,形成对称的涡旋构型,这是由涡旋间彼此实现受力平衡的难易程度决定的.一方面,由于受到旋转的离心力作用,原子有向凝聚体边缘运动的趋势,相反,涡旋在旋转作用下有向中心靠拢的趋势,相当于受到一个向心的拉力.另一方面,因为同向旋转(缠绕数同号)的涡旋彼此排斥,M erm in-Ho涡旋将对普通涡旋施加离心斥力,同时普通涡旋彼此间也存在排斥.因此,旋转频率不是很大的情况下,较多的涡旋数目很难达到平衡的构型.而当涡旋数目变少时,涡旋则更容易选择一种对称排布的平衡构型.

接下来,我们固定粒子间相互作用和磁场梯度,研究旋转频率对体系结构的影响.当不考虑旋转,只有凝聚体中央会出现涡旋结构.该结构mF=1分量为缠绕数为1的涡旋,mF=0分量为一个亮孤子,mF=-1分量为缠绕数为-1的涡旋.此结构就是polar-core涡旋[34],如图2(a)所示.当旋转频率Ω=0.3时,体系中央原有的polar-core涡旋会转化为Merm in-Ho涡旋,如图2(b)所示.当旋转频率增大到Ω=0.6和Ω=0.9时,如图2(c)和图2(d)所示,体系内涡旋数目逐渐增多,并逐渐形成三角格子,类似于只有旋转没有四极磁场的结果[35].据之前研究可知,在旋转势中,三角涡旋格子能量最低也最稳定[35].

图2 (网刊彩色)不同旋转频率对应的87Rb凝聚体基态的粒子数密度分布(第1,2,3列)和相位分布(第4,5,6列) (a)Ω=0; (b)Ω=0.3;(c)Ω=0.6;(d)Ω=0.9;其余模拟参数选为λ0=7500,λ2=-750,B=3.8和ω=2π×250 HzFig.2.(color on line)The particle number densities(the fi rst second and third colum ns)and phase distributions(the fourth fi fth and six th colum ns)of ground state of the sp inor BEC of 87Rb for the different rotation frequencies.The param eters are set as follow s:(a)Ω=0;(b)Ω=0.3;(c)Ω=0.6;(d)Ω=0.9;the other param eters areλ0=7500,λ2=-750, B=3.8 andω=2π×250 Hz.

下面我们通过对比无旋转和有旋转时中央涡旋的差别,来解释polar-core涡旋向Merm in-Ho涡旋的转变.当不存在旋转时,中央形成polar-core涡旋,由密度图可知,mF=1和mF=-1两个分量中心密度取极小值,是涡旋核,而mF=0分量的中心密度却正好为极大值,形成一个亮孤子,中心处序参量类似于极化态的序参量(1 1 1)T.这是由四极磁场具有特殊的鞍点结构且自旋在这种特殊的磁场中发生面内磁化造成的,后面讨论自旋结构时将详细论述.当引入旋转时,随着旋转频率增大,中央涡旋周围的普通涡旋逐渐增多.正向旋转势的作用之一就是在各分量都产生缠绕数为1的涡旋.中央Merm in-Ho涡旋正是无旋转时的polar-core涡旋与旋转造成的涡旋相互叠加的结果.涡旋的叠加是将缠绕数相加,polar-core涡旋mF=1,mF=0和mF=-1三个分量的缠绕数(1, 0,-1)分别与旋转造成的涡旋三个分量的缠绕数(1,1,1)相加,即得到了Merm in-Ho涡旋三分量的缠绕数(2,1,0).因此,polar-core涡旋向M erm in-Ho涡旋的转变是面内四极磁场和旋转势共同作用的结果.

下面我们固定四极磁场梯度和旋转频率,通过调节相互作用λ2和λ0的比值λ=λ2/λ0,研究铁磁系统(λ2＜0)中相互作用对基态的影响.如图3所示,当λ很小时,中央M erm in-Ho涡旋周围的普通涡旋构成六角形的对称排列.随着λ增大,普通涡旋数目随之减少,依次排成正五角形、四角形和三角形.当λ足够大时,普通涡旋消失,只剩下中央Merm in-Ho涡旋.这是由铁磁自旋相互作用与密度相互作用之间相互竞争造成的.为了使自旋交换相互作用项能量最小,铁磁自旋交换相互作用倾向于让体系自旋偏向于同一方向.但由于四极磁场介入,铁磁相互作用使得所有自旋偏向同一方向很难实现,只能使局部自旋变化趋于缓和,而普通涡旋必然联系到其涡旋核附近自旋的剧烈翻转.因此,铁磁自旋交换相互作用是抑制普通涡旋的产生.当λ很大时,铁磁自旋交换相互作用占主导地位,体系内的普通涡旋被抑制.但是,即便增强铁磁相互作用,中央Merm in-Ho涡旋也不会受到太大影响.下文将看到,这是由Merm in-Ho涡旋的尺寸和其特殊的自旋结构决定的.

图3 (网刊彩色)自旋交换相互作用与密度相互作用的比值λ对基态的影响(第1,2,3列表示87Rb凝聚体粒子数密度分布,第4,5,6列表示相位分布) (a)λ=0.0625;(b)λ=0.0667;(c)λ=0.125;(d)λ=0.1333;(e)λ=0.3333;其余模拟参数选为B=0.6,Ω=0.3和ω=2π×250 HzFig.3.(color on line)The effect of the ratio of both spin exchange interaction and density-density interaction on the ground state(the fi rst,second and third colum ns show the particle num ber densities of ground state of the sp inor BEC of 87 Rb,and the fourth,fi fth and sixth colum ns show phase distributions):(a)λ=0.0625;(b)λ=0.0667;(c)λ=0.125;(d)λ=0.1333; (e)λ=0.3333;the other param eters areλ2=-750,B=0.6,Ω=0.3 andω=2π×250 Hz.

定义自旋矢量函数为

(α=x,y,z)[36,37],能够用来描述BEC的自旋结构.图4(a)是对应于图1(a)的自旋结构,此时不考虑外磁场,体系中出现了许多双曲型meron和环绕型meron组成的meron对[38],这种meron对属于一种skyrm ion[38].图4(b)是对应于图2(a)的自旋结构,此时不考虑旋转,自旋被完全磁化到平面内,自旋排列类似于四极磁场的构型.四极磁场中心点为一个鞍点,磁场强度为0,不具有磁化作用.但由于波函数的连续性导致自旋函数S(r)在中心点处必须连续.如果S(0)有一定的量值,必然指向某个方向,但由于体系对称性,S(0)无论选择哪个方向都会破坏中心点处S(r)的连续性.所以S(0)只能取0才能满足连续性条件.因此,中心处BEC的序参量呈现极化态(0 1 0)T的形式,mF=1和mF=-1分量中心密度接近0,形成涡旋核.在不加旋转的情况下,为了满足角动量守恒,mF=1和mF=-1分量中心处两个涡旋必然反向旋转,所以具有相反的缠绕数,正如前文所述,这便是中央polar-core涡旋的成因.

图4 (网刊彩色)87 Rb凝聚体自旋结构 (a)对应图1(a)的自旋结构;(b)对应图2(a)的自旋结构;(c)对应1(c)的自旋结构;(d)对应1(c)的拓扑荷密度Fig.4.(color on line)The sp in tex tu re of the spinor BEC of 87Rb:(a)The sp in tex tu re correspond ing to the Fig.1(a);(b)the sp in textu re corresponding to the Fig.2(a);(c)the spin textu re corresponding to the Fig.1(c); (d)the topological charge density corresponding to the Fig.1(c).

图4(c)是对应于图1(c)的自旋结构,此时加入旋转势,旋转带来的扰动将使自旋偏离面内极化.中心区域的自旋结构组成一个双曲型meron[38],其在x-y平面内的投影与图4(b)中的面内自旋构型相似,但获得了-z方向的分量.为了使S(r)在中心点处连续,S(0)在x-y平面的投影也必须是0,所以中心点处BEC的序参量如前文所述呈铁磁态(0 0 1)T的形式,其对应的涡旋即为M erm in-Ho涡旋.前文提到铁磁相互作用倾向于让自旋趋于同一方向,铁磁相互作用变强会迫使中央区域自旋整体倒向某个方向,必然导致整个自旋矢量S(r)的不连续,这是被禁止的.而且中央双曲型m eron尺寸较大,在整个区域自旋变化相对缓慢且都偏向-z方向,作为一种权宜这样的自旋构型已经相对降低了铁磁相互作用能.所以四极磁场的特殊形式保护了中央区域自旋构型免受铁磁相互作用的破坏.从图4(c)还可看出,双曲型meron四周环绕了六个half-skyrm ion结构[36,37].这样的half-skyrm ion结构在五角形、四角形、三角形的涡旋排列中也是普遍存在的.由于四极磁场的磁化方向不同,图4(c)中的圆圈和方框里的两个half-skyrm ion自旋绕行方向相反,但通过计算拓扑荷,发现其本质是一样的.定义单位自旋矢量s=S/|S|,每一个s对应单位球面S2上的一个点.这样,单位矢量场s(r)即为一个的映射.如果R2中的一个区域通过该映射能覆盖整个S2,我们就认为该区域包含的拓扑荷为1.拓扑荷即为映射所覆盖的单位球面的个数,其计算公式为

其中的积分核

为拓扑荷密度[36,37].图4(d)即为图4(c)对应的拓扑荷密度分布.通过对选定区域的积分,算得中央区域的拓扑荷为-0.5,与双曲型meron的拓扑荷符合.圆圈和方形区域内拓扑荷也都是-0.5,这也和half-skyrm ion的拓扑荷符合.这进一步印证了我们通过自旋排列的形状对自旋结构的种类做出的判断.

后续工作可以考虑引入规范场的相关研究,例如自旋-轨道耦合效应[39,40]和偶极相互作用[41]的影响,此时系统将展现出更多迷人的特性.进一步,可以考虑更高自旋的旋量凝聚体,更复杂的自旋相互作用可以诱导更丰富的量子相和各种奇特的自旋纹理.

4 结 论

本文研究了面内梯度磁场和旋转频率对铁磁玻色-爱因斯坦凝聚体的基态的影响.利用虚时演化方法得到了不同参数下的基态结构.研究发现：中央M erm in-Ho涡旋的产生是面内四极磁场和旋转双重作用的结果,面内四极磁场可以保护Merm in-Ho涡旋免受铁磁相互作用的破坏;增强磁场梯度强度,可以控制Merm in-Ho涡旋周围的涡旋数目并使其趋向对称化排列;在四极磁场下,调控自旋交换相互作用与密度相互作用的比值,可以得到丰富奇异的基态相,能够控制不同基态相之间的转化.最后,我们还讨论了基态的自旋结构.

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(Received 1 April 2017;revised manuscript received 13 April 2017)

Ground state of a rotating Bose-Einstein condensate with in-plane quadrupole field∗

Liu Jing-Si1)2)Li Ji1)2)†Liu Wu-M ing1)2)

1)(Beijing National Laboratory for Condensed M atter Physics,Institute of Physics,Chinese Academ y of Sciences, Beijing 100190,China)
2)(School of Physical Sciences,University of Chinese Academ y of Sciences,Beijing 100190,China)

Com pared with the scalar Bose-Einstein condensate,the spinor Bose-Einstein condensate,in which internal degrees of freedom are essentially free,has aroused the great interest in the study of topological excitations.In particu lar,the spinor Bose-Einstein condensate with rotation provides a new opportunity for studying novel quantum states including a coreless vortex and vortex lattice.To date,in the presence of rotation,a great many of studies on the topological excitations have focused on the Bose-Einstein condensate system with the uniform Zeem an field or without external m agnetic field.However,the ground state structure of a rotating Bose-Einstein condensate in the p resence of in-p lane gradient-magnetic-field remains an open question.In this work,by using the imaginary-time propagation method,we study the ground state structure of a rotating Bose-Einstein condensatewith in-p lane quad rupole field.We fi rst exam ine the effect of in-p lane quadrupole field on trapped spinor Bose-Einstein condensate.The num erical results show that Merm in-Ho vortex can be induced only by the cooperation between quadrupole field and rotation.W hen magnetic field gradient is increased,the vortices around M erm in-Ho vortex display the symm etrical arrangem ent.For an even largermagnetic field gradient strength,the system on ly presents the Merm in-Ho vortex because the in-p lane quadrupole field can prevent the vortices around M erm in-Ho vortex from occurring.Next,we exam ine the effect of the rotation on trapped spinor Bose-Einstein condensate.A phase transition from a polar-core vortex to a M erm in-Ho vortex is found through app lying a rotational potential,which is caused by the cooperation between the in-p lane quadrupole field and the rotation.We further study the combined effects of spin exchange interaction and density-density interaction. The resu lts confi rm that in the p resence of the quadrupole field both spin exchange interaction and density-density interaction,acting as controllable parameters,can control the number of the vortices around Merm in-Ho vortex.The corresponding number of the vortices shows step behavior with increasing the ratio between spin exchange interaction and density-density interaction,which behaves as hexagon,pentagon,square and triangle.It is found that two types of topology structures,i.e.,the hyperbolic meron and half-skyrm ion,can occur in the p resent system.These vortex structures can be realized via time-of-fl ight absorp tion im aging technique.Our resu lts not on ly provide an opportunity to investigate the exotic vortex structures and the corresponding phase transitions in a controlled platform,but also lay the foundation for the study of topological defect sub jected to gauge field and dipolar interaction in future.

rotating Bose-Einstein condensate,in-plane quadrupole field,spin-exchange interaction,spin texture

PACS:03.75.Lm,03.75.Hh,05.45.Yv DO I:10.7498/aps.66.130305

∗国家重点研发计划“量子调控与量子信息”重点专项(批准号:2016YFA 0301500)和国家自然科学基金(批准号:11434015, KZ201610005011)资助的课题.

†通信作者.E-m ail:liji2015@iphy.ac.cn

PACS:03.75.Lm,03.75.Hh,05.45.Yv DO I:10.7498/aps.66.130305

*Project supported by the NKRDP(Grant No.2016YFA 0301500),and the National Natural Science Foundation of China (G rant Nos.1143401,KZ201610005011).

†Corresponding author.E-m ail:liji2015@iphy.ac.cn