数形结合在初中数学教学中的应用

翟克修

【内容摘要】数形结合是初中数学解题中一种重要的数学思想方法，它在数学领域有着广泛的应用。本文介绍了初中数学中数轴、有理数的计算、图形与式的探究、函数、统计等多方面内容中所蕴藏着的数形结合思想，以及应用数形结合思想解决问题的方法。从而发展学生的思维能力、空间观念，培养学生的创新意识。

【关键词】数形结合 实践性 探究性 创新意识

在初中的数学教学中，人们往往的数学分为代数和几何两部分知识。代数主要研究数与式的运算而几何主要研究图形的转换与性质。这样就把数与形区分开来。殊不知如果把数与形结合在一起往往在解题中取得事半功倍的效果。我国著名数学家华罗庚就曾经说过：数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休。可见数与形之间存在着十分密切的联系。

数是形的抽象概括，形是数的直观表现。数形结合的基本思想是数与形之间相互应用，利用代数的方法来处理图形问题，也借助于几何图形来解决代数问题。

在初中数学中数与形的第一次联姻是在数轴中。数轴使数与直线的点建立了对应关系，提示了数与形的内在联系，并由此在为数形结合的基础。数轴可以清楚明了的将相反数、绝对值的几何意义表示出来，从而利用它们来解决问题。

例如，已知|m|<|n|，m>0，n<0，把m、n、-m、-n按顺序由小到大排列起来。

对于这道题要比较四个数的大小，只需根据条件给养数轴上表示出来，就能确定它们的大小顺序。如图：

从而得到n<-m

我们也常常借助几何图形来推导理解代数中计算公式，寻找解题思路。例如我们完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2我们可以用正方形和矩形的面积来表示如图：

通过这样的几何图形可以直观的反映出公式等号两边的关系，使老师便于讲解，学生易于记忆，这充分展现了数形结合的好处。

利用数形结合还可以将复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，从而获得简单易行的成功方案。

例如，求 的值。

这道题如果直接计算很难下手，但如果我们利用几何图形来解决就很容易得出结果。通过观察图形我们很快就能发现上式的值为1- 。这样就避免復杂的计算与推理，简化了解题过程。

在直角坐标系中，有序实数对（x，y）与坐标系内的点P建立了一一对应的关系，使函数与其图象的数形结合成为必然。一个函数可以用图形来表示，而借助这个图形又可以直观地分析出函数的一些性质和特点。在一次函数中，k决定着直线y=kx+b（k≠0）所经过的象限和它的增减性；反过来，如果已知坐标系内的一条直线及其它上面的两个点的坐标，我们就可以求出它的解析式。二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中，a决定着抛物线的开口方向，a>0时开口向上，a<0时开口向下。其图象的对称轴为直线x=- ，抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）。我们还可以根据抛物线的顶点坐标（- ， ）求二次函数的极值，从而解决实际问题，这也是历年来函数中必考的题型。另外，我们还可以利用函数图象来求方程和不等式的解。这为函数的研究与应用提供了很大的帮助。因此，函数及其图象内容凸显了数形结合的思想方法。

随着多媒体技术在课堂教学中应用，我们可以利用计算机制作教学课件，通过动态的画面将数与形完美的结合。例如，在讲解圆与圆的位置关系时，可以利用多媒体技术在电脑中制作两个圆，通过移动某一个圆探究两圆的圆心距d，两圆的半径R、r之间的关系。学生通过动态的画面很容易就能发现当d>R+r时，两圆外离；当d=R+r时，两圆外切；当R-r

在各类的考试中，有关数形结合探究的试题也屡见不鲜。例如，

观察下面的点阵图形和与之相对应的等式，探究其中的规律：

（1）请你在④和⑤后面的横线上分别写出相对应的等式：

① 4×0+1=4×1-3

② 4×1+1=4×2-3

③ 4×2+1=4×3-3

（2）通过猜想，写出与第n个图形相对应的等式。

本题通过已知的点与式的关系，将抽象的数学问题直观化。我们只需将点阵中不同图形的点数运用数形结思想，很容易就能得出结果④中填4×3+1=4×4-3，⑤中填4×4+1=4×5-3，最终结论为4×（n-1）+1=4n-3。

由此，我们在教学中要注意培养数形结合思想意识，要争取胸中有图见数想图，以开拓自己的思维视野，提高自己分析问题、解决问题的能力。

（作者单位：山东省淄博市淄川区淄河中学）