问题生根：数学结构化学习的应然指向

万兆荣

数学结构化学习遵循数学知识本身的结构体系和学生的认知规律，注重科学设计问题情境，不断启发学生发现对他们来说具有意义的数学问题，从而引导学生基于自我的问题分析和问题解决，体验到知识发生、联结与创生的过程，真正实现教材知识结构向学生数学认知结构的转化。本文以苏教版《数学》五年级上册“一位小数的意义”教学为例，探索小学数学“问与学”之间的结构化关系。

一、寻根“续问”， 让学习在疑惑中引发冲突

良好认知结构的建立，取决于是否为学生呈现了良好的知识结构，教材虽然根据知识结构的特点排列，但它是以静态的序列呈现的，而知识的结构性不等于学生认知的结构化要求，合理的认知建构应体现“知识广度高、丰度高、完整性高、融合性高”[1]。这就要求教师分层次梳理教材。

1.读“懂”教材，了解问题起点

数学学习是一种概念逐渐建构的过程，由整数到小数是认识的一次扩张，应该使学生逐步理解小数的意义[2]。苏教版教材将一位小数的初步认识安排在三年级认识分数之后学习，这里更多关注小数与分数之间的线性联接。四年级除了习题中出现一次2.5、1.2升后再没接触小数，五年级教材仅提供一至三位纯“小数意义”理解的样态，教材第1课时借助米、分米、厘米、毫米间的关系，进而抽象概括出分母是10、100、1000的分数都可以写成小数，并以此类推出小数间的十进制关系，这里则注重了“小数概念”数学内涵层面上材料的呈现。第2课时单独认识小数的计数单位及整理整数位顺序表。学生在三年级学习的有关小数的知识，基本上停留在长度单位与人民币单位背景上初步认识的一位小数，由于学生熟悉的小数多数集中在购物中对元、角、分的认识，一线教师通常喜欢围绕这一主题展开教学。虽然学生对元、角、分的情境很熟悉，但借此理解的小数的含义并不十分清晰，且解决问题时大多依赖生活中的原型支撑。然小数来源于测量不能得到整数表示的结果，借助测量从米、分米等长度单位开始深入学习小数，通过直观模型和实际操作，采用数形结合的形式建立小数与十进分数的联系，既贴近儿童认知特点，又关注了知识结构的沟通，使学生对小数的认识过程更具伸展性，更利于从具象到抽象的模型建构，易于促进小数意义的科学理解。

2.读“通”教材，发现问题脉络

小数的意义以符号的含义为其存在形态，在学生对于为什么0.1=■的概念还不是很清晰的情况下，直接切入两三位小数的意义理解，其思维跳跃性过大不利于综合理解意义。另外，计数单位、数位与意义是否割裂地学，带小数的意义是否避而不谈，整数、小数的进率沟通等诸多问题，须要用结构视角审视、挖掘教材知识背后所蕴藏的思想方法与策略等，寻求学生心理发展与数学本身发展逻辑的整合。笔者认为，这部分内容可以重新整合，第1課时深刻理解一位小数的意义，在整数-分数-小数框架下，促进一位小数意义、计数单位及数位的“生根”建构，让小数意义的探索更具广度与高度。第2课时类推两三位数的意义，让学生自然建构起知识、能力及情意发展的整体结构，发展学生数学核心素养。

3.读“透”教材，建立问题导向

将教材转化为“学”材，要遵循从整体到细节的顺序，按知识结构顺序，科学地设计知识结构网络，建立知识的纵横联系，将教材知识转化为问题，思考教材中哪些知识可以转化为问题以及转化为什么样的问题，使学生的认知结构由浅入深地转化。小数最早产生于人们生产劳动中的丈量活动，因此，小数意义的起点要退回到最原始的“量、分”的概念的理解上来。从认知连续观点看，教学从测量开始，还原到小数产生的实际思维情境之中，将认知结构中与新知识相关的知识激活，以提供新知识赖以成长是“生长点”。教学初始，教师借助自制的没有刻度的“整米数”尺子教具，测量教室黑板的长、宽等，让学生直观感知从1米到10米、100米、1000米“量”的累加，由少到多、由薄到厚，强化1、10、100、1000……整数十进制关系，为理解小数的十进关系与整体“1”的联系奠定基础。当教师出示一根不足1米（约4分米）的物体后，提出问题：“现在还能用这根米尺测量吗？怎么办？”整1米尺不能测量比较短的物体，必然要进一步改进与创造分米尺、厘米尺。测量的直观既感知了量的累加，又有量的减少，这里以越来越深化的“疑惑”驱动着学生的思考，使新的学习材料与认知结构中的适当观念相联结，更易于促进学生学习小数动机的生成，这样真正的学习才能发生。

二、培根“探问”，让学习在收获中探究突围

1.在思维的转折处呈现问题

结构化学习是在正式学习新知识之前，提出一些与新知识内容有关的问题，以引起学生的注意与思考，是激活学生原有认知结构的有效方法。提出的问题应难易适度，落在学生的“最近发展区”，从“是什么”到“为什么”，改变为“怎么办”，让真实问题探究引发生成系列问题。教师再次引发思考：“如果还用米作单位，该怎样表示这根较短的物体？”小数其实是分数的另一种表达形式，有效测量4分米的问题情境，使 0.1、0.4……之类的小数在分的过程中呼之欲出，直观感知0.1米=■米、0.4米=■米的意义相同，有利于学生深刻体会到小数在表征上与整数具有相似规则和结构。

直观形象、具体可感的实物测量辅助，为学生的思维发展由操作水平逐步走向分析水平铺路架桥，那么图示直观可以帮助学生化具象为抽象，借助适当的模型和图式等直观手段，使得问题中的隐蔽条件明朗化。因此，要为学生提供实物结构图式支撑表达，借助媒体技术支撑展示一个正方形与一个数轴，同时平均分成10份，这样的1份就是0.1或■，让学生自己数一数，从0.1开始让学生数出0.1～0.9 各数，数与图同时延展，继而再增加1个格，此时的正方形正好满格，学生数出10个0.1、10个■也就是1.0，同时是整数1。这里让学生经历两次数数：第一次以0.1为单位数，第二次以■为单位数，能更好地帮助学生理解一位小数都是由0.1累加而成的，十分之几是由十分之一累加而成的。这里让学生理解小数就是十进分数的关系，也理解了小数与整数的十进制关系，同时一位小数的计数单位随之建立，既在概念认识上突出了数学知识内在的逻辑结构，又增强了概念呈现的系统性。

2.在突破难点时激发问题

问题不仅是探究活动的开端，也是整个探究活动的核心，更是探究活动的衍生和归宿。如何将带小数的意义纳入学生认知结构呢？这里，需要抛出能够产生“核裂变”的问题，1.1是带小数的核心起点，又是小数与整数十进制关系的突破口。当学生通过举一反三深刻理解了诸如0.1～0.9这样的一位小数与分数之间的关系后，教师借助数轴，引导学生思考：“照这样数下去，还有比0.9再大些的小数吗？你能在数轴上指出一些吗？”学生在具象与形象之间自然转换，体会小数个数的无限性，由此想到1.1、1.2……那么“1.1表示什么意思呢？你能自己说清楚吗？”这一核心问题的推动，让学生接触最实际的问题，亲历发现和解决实际问题的过程，并将实际问题抽象成知识模型，进而借助已经掌握的学科知识和能力，对知识模型问题进行解释。学生想到：“1再加上■、1再加上0.1、■……”认知在实物直观、模像直观进入了言语直观，使学生在无意识的联想、归纳、演绎、概括、判断等过程中不断地自我分化和自我修正。以0.9为切入点对一位小数0.9与1.1进行结构化呈现、结构化表达、结构化表征，组成大的小数意义知识群，让核心结构成为关联小数意义的主要线索，从而在学生脑子里产生遏制不住的问题“核裂变”。

3.在悬念迭起中揭示问题

有意义的学习是学习者必须具有意义学习的心向，即学习者主动地把符号所代表的新知识与其认知结构中原有的观念加以联系的倾向性[2]。只要找到问题起点生成的知识联系主干线，找准知识元素的内涵与外延，才能构筑起“问与学”意义联结的结构化学习历程。矛盾冲突是构建认知结构的前提，在教学中探讨如何造成认知冲突，形成问题意识，不仅具有激发学习动机的作用，而且具有诱发学习者调整认知结构，促成认知发展的作用。

计数器的巧妙使用，让小数的意义与计数单位及数位相融相通，同时让整数与小数之间的沟通自然融合。

师：计数器的个位拨上1个珠子表示1，10个珠子呢？

生：需要向前一位，也就是十位进1当10。

师： 如果在个位的后面也拨1个珠子应该当几呢？这个拨下的珠子该落在什么位呢？”

生：0.1，

师：0.1是什么位？

生：小数位、一位小数位、不足1的位、个分位、十分之一位、分数位……

師：为什么是分数位，你是怎样理解的？

……

在学生的猜测中呼唤出小数的最高位是十分位，对于为什么是十分位的解释，学生有着自己的表达。学生在冲突中理性思考问题，结论的得出必须有充分的事实依据或严密的推理，最终揭示一位小数的数位是十分位后，从数学学科知识体系的角度对小数进行分析，在内结构、外结构和群结构的联系间提炼与展开，当学生将新知识与原有认知结构中的知识适当建立起“非人为和实质性的联系”时，意义学习就自然而然发生了[3]。

三、 扎根“追问”，让学习在追求中建模突破

结构化学习不仅关注知识和技能的教学，更注重让学生体会知识技能的发生和发展与学科融合的过程，让学生在学中思，在思中悟，在悟中得，以此提高思维层次，有效解决学生的认知冲突，达成对知识的深刻理解。

1.渐进分化，强化深层问题构建

结构的形式化本身就是一种构造过程。在认识一位小数的意义后，教师追问：“你还想到了什么数？它们分别表示什么意思呢？”在追问中螺旋上升使得学生对于知识的理解有个逐渐深入的过程。为学生学习提供感悟、反思和积淀的机会与时间，使学生经常回到低水平思维中，使具体经验与新知识相契合。例如：如果正方形再次细分又会得到怎样的数？1.11米是什么意思呢？学生有了1.1米的基础，不仅是1.11，诸如1.111等小数的意义也不难理解，只要抓住知识的中心与要领，统揽全局，使知识网络化、系统化、整体化，既生长小数结构，又增强了学生对小数意义的理解，有利于建立深层次的认知结构。

2. 综合贯通，促进多元问题衍生

学习从问题开始，但不一定以问题解决而结束，它是一个不断发现新问题的过程，未知的问题推动着学生自觉前行。课末，教师提出：“对于小数的学习，你还想知道些什么？”学生想知道：小数的来历、小数的计算、小数怎样加减、怎样乘除……让学生回到具体经验的体验学习中，形成实践-认识-再实践-再认识的渐进和升华的过程，使得学习形成生活化、人文化、信息化和实践化，拓宽了学习的方式、内容和方法，让学习内容在更广阔的背景上获得全方位的充实和增加。结构化学习不是灌输，而是点燃火焰，结构化学习的过程与科学家研究的过程在本质上是一致的，从自学、同伴互学，向网络拓展，在问题的引领中像“小科学家”一样去发明、创造，为儿童多元发展提供思维动力，让课堂不断生长着新的生命气息，让学生的学习逐步丰富，精细化，在自然中实现价值提升。

参考文献

[1] 皮亚杰.结构主义[M].卢濬选，译.北京：人民教育出版社，2015.8.

[2]杰罗姆·S·布鲁纳.教育过程[M].邵瑞珍，译.北京：文化教育出版社，1982.

[3]王萍.认知结构及教学构建研究[M].北京：中国言实出版社，2008.

[责任编辑：陈国庆]