对数学逆向思维的再认识

傅海伦++张佩雯++徐小惠

摘 要数学逆向思维是一种高水平的思维活动，是数学思维方法的高级体现，注重培养学生的数学逆向思维对提高学生的思维能力、提升其数学素养具有极其重要的作用。本文在对数学逆向思维研究的重要文献进行分析和总结的基础上，对教学逆向思维的特点、教育价值等提出了再认识，也对当前数学逆向思维研究中所存在的问题和不足进行了总结，并提出建议。

逆向思维 数学教学 教育价值 再认识

思维方式在教育研究中起着至关重要的作用，对教育研究的视角、过程及结果有着非常大的影响。逆向思维是发散思维的一种，在思维的指向性上不同于正向思维，但其效果却往往是出乎意料的，在处理一些特殊问题时，逆向思维的使用能够较好地完成对问题的处理。逆向思维并不是数学所独有的，在不同的学科学习中均可以根据具体情况运用逆向思维，逆向思维有着一般的共性，但在不同学科中又有其独特性。数学逆向思维是逆向思维在数学学科中的具体运用，是逆向思维在数学研究和学习活动中的具体体现，是一种具有重要数学思维品质特征的数学思维形式。

一、正确认识数学逆向思维及其价值

1.准确把握数学逆向思维的内涵

所谓思维，就是人脑对客观事物的本质、相互关系及其内在规律性的概括与间接反映[1]。逆向思维是与正向思维相对的一种思维方式，这种思维方式往往从问题的反面着手，执果索因，从不同于常规的角度考虑问题，循序渐进地探求出问题的最优结果。而数学逆向思维则是指在数学学习活动中，学习者能够打破常规，突破思维定势，以不同于一般的方法甚至是相反的方向来思考数学问题，对数学表达、数学认识等进行反方向的、严密的分析和解释的个性品质。

2.对数学逆向思维特点的再认识

第一，数学逆向思维具有灵活性的特点。数学逆向思维的运用，并不是有现成的公式或定理可以拿来直接使用的，而是需要根据具体情况对问题进行深入剖析后，或者是经过不断的尝试，当用常规的方法难以解决或解决过程较繁琐时，我们换一个角度来考虑问题，从问题的反方向出发，对问题进行探究。考虑到数学自身的精确性等特点，逆向思维的灵活性也为数学学习注入了生机与活力，可以增加数学学习的趣味性，从而改变一些同学的“数学是枯燥的”这一错误认识。

第二，数学逆向思维具有互逆性的特点。从逆向思维的定义中，就可以看出这一特点，在运用逆向思维解决数学问题之后，再将问题结论代入到数学问题中，从正面再对问题进行分析，要求整个过程是解释得通的。互逆性是数学逆向思维的基本特点，正是这一基本特点，数学逆向思维在运用起来才能够充分地发挥其作用。

第三，数学逆向思维具有严密性的特点。这一特性充分体现出逆向思维在数学中的应用，这是数学学科这一具体“土壤”环境赋予逆向思维的一个特性。数学本身就具有严谨性、周密性等特点，那么，在探究数学问题时必须考虑全面，把每一种可能性都考虑到，在数学学习中运用逆向思维时同样也要做到严谨周密。数学逆向思维的严密性与其灵活性并不矛盾，灵活性是从思维方法这一宏观角度来定义的，而严密性则是从数学思维这一微观角度来定义的。正是这种宏观和微观的碰撞，灵活性与严密性的结合，才能更好地发挥出逆向思维在数学学科中的教育价值。

3.对数学逆向思维教育价值的再认识

关于数学逆向思维的教育价值，现有的文章多是从逆向思维在数学概念、定理、公式等数学知识方面的应用并结合具体例题等进行分析的，而笔者认为逆向思维在数学学科中的价值可以从数学基础知识、数学基本素质两个维度来进行分析。

在数学基础知识这一维度上，逆向思维的运用，可以幫助学生更加清晰地理解数学概念、更加熟练地运用数学公式、更好地掌握数学定理，有利于学生打下扎实的基础。在数学基础知识中，数学概念往往是从正向给出的，这种正向思维是学生早就接触过并习以为常的思维方式，对于稍简单的概念、定义等，学生接受起来比较容易，但在一些较难理解的概念中，学生理解起来就有一定难度，这就需要教师引导学生从其他角度对其进行解读与思考，化难为易，帮助学生从本质上掌握所学知识。逆向思维在数学公式和定理中有着普遍的应用，尤其在证明题中，为考察学生对知识的掌握程度，题目条件并不会直接给出公式的正向表示方式，而往往会从公式、定理的反方向来呈现，那在这种情况下，逆向思维的运用对于解决问题便起到不可替代的作用。

在数学基本素质这一维度上，首先，数学逆向思维有利于丰富学生的思维方式，打开学生的数学学习思路，使得学生能够学会从不同的角度、以不同的方法尝试解决各种问题，同时便于学生发现问题，从而激发学生的求知欲和好奇心，激起其学习数学的热情和学好数学的信心。其次，数学逆向思维能够帮助学生掌握多种解题技巧，接触新的解题方法，从而不断增强其解题能力，带动学生理解能力的提升，不断增强其数学素养。最后，数学逆向思维的运用，能够激发起学生的创造性思维，有利于帮助学生树立创新意识，进而使得其创新能力得以提高。数学逆向思维的引入，从不同角度和层面上使得学生的各项能力得以提高和增强，而这些能力反过来又可以加深学生对数学逆向思维的理解。

二、当前数学逆向思维研究存在的主要问题

1.研究内容较为单一，主要停留在培养途径层面上

当前对数学逆向思维的研究主要停留在其在数学中的解题应用上，并致力于探求培养学生逆向思维的途径与方法，而相对忽视对数学逆向思维其他方面的研究。数学逆向思维的文章也大都是关于逆向思维在数学解题中的运用，基本上都是通过典型例题进行分析，而多数的例题又有其相近性，研读起来往往会有似曾相识的感觉，因此，对数学逆向思维的研究急需新的立意、新的视角。数学逆向思维在多大程度上提高学生的数学成绩、与其他数学思维之间存在怎样的关系、影响其发挥作用的主要因素有哪些等都需要进一步系统性的研究。

当前对数学逆向思维的研究更加侧重于结果性研究，包括逆向思维在数学概念、定义、公式和定理等方面的运用，这些都是对其带来教育结果的研究，而对逆向思维是怎样迁移到数学学科中的、怎样更好地融合到数学思维中去等过程性问题和对数学逆向思维自身独特的特点、内涵以及其构成因素等本质性问题的研究力度尚待加强。只有从本质上把数学逆向思维梳理清楚，把握其核心要素和本质内涵，理清其与数学、数学思维之间的关系，才能够更好地把逆向思维融合到数学学科中，真正实现从宏观和微观上将其研究透彻，进而能够更加充分地发挥其教育功能。

2.研究方法单一，实证性研究力度有待加强

对数学逆向思维的理论研究较多，而相关实证性研究力度尚浅。关于数学逆向思维在多大程度上提高学生成绩、在多大程度上提高学习能力、在多大程度上提升学生的解题能力等问题缺少直观的、有力度的证明材料。目前多数研究在涉及到具体层面的问题时，其说明力度还是有所欠缺的，关于数学逆向思维的实证性研究少之又少，从而迫切需要加强对其的定量研究。

数学逆向思维这一概念本身所占理论成分较多，但是当涉及到其在数学教学和数学学习活动中的具体运用时，其实践层面上的成分就占据主要部分，对一些说服力度较强的事实性材料，研究相对较少，因此通过实证性研究对其进行更加深入和有针对性的探究就成为了研究数学逆向思维的必然趋势。通过大量实证研究来对相关理论进行验证和扩充，做到定性研究与定量研究相结合，实现对数学逆向思维多角度、多层面的研究，从而不断完善对数学逆向思维的理解与认识。

3.研究尚未形成体系，缺乏系统性

无论是从研究方法、研究内容还是研究对象来看，对数学逆向思维的研究都还未形成稳定的系统，未上升到系统性的层面上，还仅是停留在感性层面上。我们研究一个问题，并不只是为了研究而研究，而是为了更好地把握其本质内涵，通过对其的深入研究能够对我们的教育工作和学生的学习活动有所帮助，让所进行的研究真正地发挥作用。

当前的相关研究，虽然带着相对正确的研究目的出发，但研究内容多是数学逆向思维在数学解题中的应用，基本上都是通过对典型例题的分析来剖析其应用，而相对忽视对数学逆向思维自身因素构成、性质特点等内涵性问题的探讨，只有对问题本身研究透彻，才能够高效地将其运用到数学教学中去，让老师和学生均有所受益。为更好地将数学逆向思维研究透彻，后续的相关研究应该致力于把对其的研究形成一定的体系，从宏观和微观两个维度加强对其的研究力度，力求形成完善的研究体系，真正地发挥研究的价值。

三、反思与建议

1.对数学逆向思维展开多维度的研究，增强其系统性

我们应该对数学逆向思维展开多维度的研究，而不是仅仅停留在感性层面，仅仅探究其在数学中的运用，应该从更深层次上对数学逆向思维进行剖析、探究。关于数学逆向思维，我们可以从其与数学思维的关系、与学生数学成绩的关系、与数学知识体系的关系和其本身所具有的特点、本质等维度出发，深入探究，将数学逆向思维的外延不断进行扩充。既要理清数学逆向思维内涵，又要明确其外延，增强对其研究的整体性和系统性，改变当前研究内容单一的现状，让关于数学逆向思维的研究丰富起来，充实研究内容，形成稳定的研究体系，真正地让我们所进行的研究发挥其价值，能够对教师的教和学生的学有所帮助。

2.进一步加大对数学逆向思维的实证性研究力度

当前对数学逆向思维所进行的研究中，多数都是理论层面的定性研究，而定量研究少之又少，缺乏有说服力的实证性研究。数学逆向思维在多大程度上提高学生的解题能力和数学成绩、在多大程度上帮助学生接受数学知识、与其他数学思维之间的关系等问题尚未有明确的研究结果。只有明确类似问题，才能够抓住关键，从而找到培养学生数学逆向思维的途径和方法，进而培养学生的数学思维能力，提升其数学素养，从根本上实现数学逆向思维的教育价值，也能够使得我们所进行的研究有意义、有价值。在后续的研究中，有质量的实证性研究是不可或缺的，在对数学逆向思维进行定性研究的同时，还要注重定量研究的实施，增强实证研究的力度，从而使得关于数学逆向思维的研究更有说服力，研究结果更具有可运用性。

参考文献

[1] 郑君文，张恩华.数学学习论[M].南宁：广西教育出版社，1999.

[2] 袁昌华，顾文军.高中生数学逆向思维能力的调查与分析[J].数学教育学报，2012（6）.

[3] 郑毓信.“数学与思维”之深思[J].数学教育学报，2012（1）.

[4] 袁海丽.新课标下初中数学教学逆向思维的开发与探索[J].中学教学参考，2012（35）.

[5] 卜以军.数学教学中加强逆向思维训练的策略[J].中學数学月刊，2013（9）.

[6] 董海霞.关于高中数学逆向思维能力培养的研究[J].考试周刊，2008（31）.

[7] 罗进.例谈逆向思维在数学解题中的应用[J].中学数学教学参考，2016（4）.

【责任编辑 郭振玲】