二次曲线系视角下对2017年全国Ⅰ卷理数20题的反思

江西省南昌市第三中学 (330049)

张金生

二次曲线系视角下对2017年全国Ⅰ卷理数20题的反思

江西省南昌市第三中学 (330049)

张金生

2017年高考新课标全国Ⅰ卷理数的设计遵循《普通高中数学课程标准》和《高考说明》的要求和阐述，紧密联系高中数学教学现状，关注数学本质，渗透学科核心素养.

本文从二次曲线系的角度去研究该卷20题，请看题：

常规解法略，为巧解该题，我们先看关于二次曲线系的相关概念：

二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示的曲线叫做二次曲线，它包括圆、椭圆、双曲线、抛物线以及两条直线(退化的二次曲线).

二次方程(A1x+B1y+C1)(A2x+B2y+C2)=0表示两条直线，但这个方程展开后，是一个二次式，因此我们说这是退化的二次曲线.

已知两条二次曲线Γ1:f(x,y)=0与Γ2:g(x,y)=0相交，且有四个交点，则方程λf(x,y)+μg(x,y)=0(λ,μ为参数)表示经过其四个交点的二次曲线系方程.若能确定所求的曲线不是Γ1:f(x,y)=0或Γ2:g(x,y)=0，我们可以只设一个参数.

当我们已知曲线h(x,y)=0，要求某些未知数时，我们可以利用λf(x,y)+μg(x,y)=h(x,y)，两边对比系数即可.

下面利用该知识解决笔者原创的南昌市2017年一模试题20题：

图1

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)若过点B且斜率不为0的直线l与椭圆C交于M,N两点，已知直线A1M与A2N相交于点G，试判断点G是否在定直线上？若是，请求出定直线的方程；若不是，请说明理由．

(2)常规方法计算量较大，此处略.

设MN:y=k(x-4)，易知A1M:x+2=t1y，A2N:x-2=t2y，A1A2:y=0，

图2

如图2，若一条直线与一条二次曲线交于P,Q两点，那么对于这两条直线OP·OQ，怎么来刻划呢？设直线PQ的方程为y=kx+m①，曲线方程为Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0②.

注意到点P,Q满足③式，又③为二次齐次式，所以它一定能分解成(y-k1x)(y-k2x)=0，这就是过原点的两直线OP·OQ，也可以将两边同除x2，视其为关于的二次方程，解出两根，即为k1,k2，这即为OP,OQ的斜率．

由上可得2017年高考解析几何20题的巧解：

我们再来深挖该题背景性质：

这两条性质读者不妨用前面二次曲线系的方法去简洁证明.

关于椭圆类似性质的探究，笔者在《对一次试卷讲评课的一点感悟》(见本刊2016年第4期)一文中有以下两个结论：

2017高考全国Ⅰ卷解析几何解答题考查了数学抽象、逻辑推理、数学运算、数据分析等核心素养，重点考查思维品质，减少计算量.数学离不开计算，核心素养下的数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题.主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果.重在运算法则的掌握、运算方向的探究、方法的选择，也就是“多一点想、少一点算”.基于核心素养视角的教育教学将是今后相当长时间段内的热点.

本文从二次曲线系视角下探索试题的多种解法，挖掘试题的本质属性，在提高数学学科核心素养方面作出一点探索，不到之处敬请批评指正.