基于概率模型的攻防效能估算与仿真分析

谢经纬，陈万春

基于概率模型的攻防效能估算与仿真分析

谢经纬，陈万春

（北京航空航天大学宇航学院，北京，100191）

建立了一个用于计算弹道导弹突防效能的概率模型，根据导弹攻防对抗中以事件概率、而非以具体结果为指标的评判方式，估算实现突防目的所需要的弹道导弹数量，考虑防御系统的可靠性问题，以及弹头可能采取的对抗措施。最后通过仿真实验的方法予以验证，并对结果进行分析，为实际作战部署和规划提供有价值的参考。

概率模型；导弹突防；效能估算；辨识概率

0 引 言

弹道导弹作为一种重要的威慑力自问世以来，引起各国的广泛关注，因此相应地出现了导弹防御技术。在导弹攻防对抗研究中的一个主要内容就是双方的作战目标以及资源上的消耗。20世纪90年代以来，国内外学者对导弹防御系统的效能进行了深入研究：Larson系统地分析了多层次导弹防御体系中的关键节点以及优化问题[1]；Wilkening基于概率模型提出以“零突防”为指标的防御效能估算方法[2]；Menq利用Markov链优化了多层防御系统的效费比问题[3]；而Kaminer则专注于防御系统各层次之间的相关性[4]；杨晓凌在目标识别、选择和拦截概率不确定的情况下，研究了拦截弹分配模式的优化问题[5]。

随着导弹防御技术的不断发展，弹道导弹的威慑作用受到削弱，因此研究突防策略及其效能十分必要。吴钰飞在不同的拦截模式下，分阶段探讨了弹道导弹突防过程中诱饵的影响[6]；吉莉利用伯努利实验原理，分析了弹道导弹突破多层次防御系统的各种措施，并考虑了诱饵因素[7]；高恩宇建立了目标识别和弹头突防的概率模型，设计了不同拦截模式下的估算方法[8]。

当前已有的研究成果是事先设定诱饵的识别概率，然后将目标数量作为仿真的输入，得出一定条件下突防/拦截的概率。相比前者不同的是，本文基于概率模型，以弹头成功突防作为任务指标，提出进攻方需要投入的弹头和诱饵的计算方法，针对导弹防御系统的特性与限制，阐明诱饵掩护弹头的机理，并借助大样本的仿真对抗予以验证。

1 对导弹防御系统的设定

由于导弹防御系统的工作流程涉及到探测、识别、跟踪、发射、拦截、评估等多个环节，并且由雷达/红外、指挥控制、火力单元、拦截弹等多个子系统组成，复杂程度相当高。为了简化，引入共模故障的概念，将拦截弹发射前的系统可靠度归结为一个参数PTrack，表示对一个目标完成探测、识别并持续追踪的概率[2]。

类似的，将拦截弹的作战效能也归结为一个参数k，即单发拦截率（Single-shot Probability of Kill，SSPK），表示从发射、制导到摧毁目标的概率。

本文将防御方的任务指标描述为摧毁所有进攻弹头的概率P(0)。假设采取集中分配的模式，一次发射I颗拦截弹攻击所有目标，可以推导出当W个弹头来袭时，防御系统准确跟踪并拦截全部弹头的概率为

对式（1）进行变换，防御系统对拦截弹数量的需求可以写为[2]

2 进攻弹效能估算

本文仅考虑防御方集中发射拦截弹的模式，突防概率指标设为P(≥1)=1−P(0)，即至少有一颗弹头突防。根据式（2），可以看出降低P(0)的关键点有3处：a）增加进攻弹头的数量W；b）采用突防措施压低防御方的跟踪能力PTrack；c）降低拦截弹的SSPK。

2.1 弹头不全部被追踪

如果有足够的情报，可以掌握防御系统探测、跟踪、识别目标的总体概率PTrack，或者通过对抗手段将PTrack限制在一定的水平，就可以利用式（2）的内在性质P(0)≤PTWrack，把突防失败的概率P(0)降低到期望水平。假设PTrack上限为PTrack，并且有：

定义：

只要弹头的数量达到或超过W时，就能够以1−P(0)的概率保证至少有1颗弹头不被跟踪而直接突防。这相当于饱和攻击的一种体现。

如果防御方跟踪目标的能力很高，或者情报不足难以确定其水平，出于保守只好假设PTrack=1，也就是说所有弹头都会被防御系统准确识别并跟踪。

2.2 弹头不全部被拦截

当拦截弹的SSPK较高或者进攻方对突防概率P(≥1)要求苛刻（即容忍的突防失败的概率P(0)较小）时，可能出现下面的情况：代入防御方所拥有的拦截弹个数I后，

这表明即使W=I时，仍不能满足要求。然而假设每颗拦截弹只能应对一个目标，则W=I +1是一定能够突防的，换而言之，防御方需要一个潜在条件是I≥W。这样就可以分情况来估计所需弹头的数目：

式中 ()F I无法用解析函数来表示，是W满足式（2）在TrackP=1情况下的解。这里需要确保W是唯一存在的，证明过程如下[9]：

b）当P(0)＜1，满足g(+∞)=0时，在式（2）的第2种情况下，又有：

由于单调性，则存在唯一解x=1W∈(1I,+∞)，亦即W∈(0,I)，使得：

此时：

也就是式（2）在PTrack=1下的形式。计算W的一种方法就是迭代求近似解，设初值为W0=I，代入下式中：

当满足条件P(0)＞(1−k)I时，序列{Wi}是收敛到唯一解W的。

3 诱饵效应

防御系统是依靠诱饵和弹头在信号特征上的区别（如红外辐射、电磁波等）来辨识目标的。这可以描述为一对信号阈值的上下限，称作识别区间[a, b]，凡是信号值落在该区间内的目标，就被识别为弹头，反之则从目标序列中剔除。但实际上，防御系统对弹头和诱饵的差异所知有限，特别是进攻方有意混淆二者的信号特征时，防御方只好放宽识别区间来确保跟踪所有的弹头。由此将不可避免地引入识别率的问题[2]，具体来讲，包括：

a）弹头被正确识别的概率Pww，即弹头信号处在识别区间内；

b）弹头被判定为诱饵的概率Pwd，即弹头信号处在识别区间外；

c）诱饵被正确识别的概率Pdd，即诱饵信号处在识别区间外；

d）诱饵被判定为弹头的概率Pdw，即诱饵信号处在识别区间内。

弹头突破防御的方式有2种：a）弹头被准确识别，但防御系统未能成功拦截；b）弹头被识别为诱饵，防御系统未予拦截。为了使Pwd尽可能小，防御系统需要将识别区间放宽，因此容易把诱饵识别为弹头（即Pdw增大），也就是说Pww和Pdw是正相关的。

3.1 诱饵辨识概率

图2为识别区间与目标识别区的关系，展示了依靠识别区间来辨别弹头和诱饵的情形。

图2 识别区间与目标辨识概率

如果防御系统不希望遗漏掉弹头，则至少需要保证Pww≥PTrack，为此可能被迫将识别区间[a, b]设置得较宽。对于进攻方而言这一区间是未知的，假设防御方按μw对称设置为[μw−Δ,μw+Δ]，也就是式（11）中定积分的上下限。这是识别概率Pww不降低的情况下，区间长度b−a最小的情形。下面重写式（12）为标准正态分布，即构造中间变量t∈N(0,1)，有：

根据所需的Pww值查询标准正态分布表，将Δ代入诱饵信号服从的正态分布xd∈N()，从而获得相应的Pdw，即防御系统把诱饵识别为弹头的概率：

3.2 估算诱饵的数量

进攻方通过增加诱饵的数量D，来消耗防御系统的探测以及拦截能力。从统计学的意义上来讲[2]，此时被防御方认作“弹头”的目标个数W*可以写作：

仍然假设防御方对W*个“弹头”平均分配了n颗拦截弹，根据式（1），为了达成防御概率P(0)，对n有如下要求：

其中，不等号右端的含义是出于防御方的需要，只关注W个真实弹头的拦截结果，不关注诱饵与拦截弹的交战情况。因为诱饵的作用是在拦截弹总数I较大的情况下，稀释掉分配给每个目标的拦截弹数量n，直至式（16）反号。需要的诱饵数量为

4 攻防仿真与分析

根据前面建立的关于弹头和诱饵数量的估算模型，利用大气层外拦截弹仿真程序软件来设计仿真实验[11,12]，其运作流程如图3所示。

在诱饵方面，包括电子假目标和红外诱饵两种，前者针对预警雷达，诱使防御系统发弹攻击。当外大气层拦截器（Exo-atmospheric Kill Vehicle，EKV）分离并开启红外导引头后，会辨识出电子假目标，因此只有部分EKV追踪的是真实弹头；红外诱饵对预警雷达不起作用，针对的是拦截弹的EKV，以一定的概率诱使导引头选择追踪自己，从而掩护弹头突防。

图3 拦截仿真流程

4.1 弹头突防效能

由于第2章中不同情形下弹头的估算方法有所差异，所以针对弹头仿真设计了2种情况，分别予以验证。图4为估算结果与仿真结果对比。

图4 估算结果与仿真结果对比

a）第1部分仿真条件设置如下：1）防御系统跟踪目标的概率PTrack=0.999；2）拦截弹对目标的SSPK设为k=0.7；3）拦截弹总数I=1 200；4）要求突防概率P(≥1)=10%，11%，…，90%。

首先估算弹头数量。从进攻方的角度考虑，在估算中认为PTrack=1，因此通过式（10）迭代得到的弹头数量会多于实际值。由于PTrack=0.999，多数情况下弹头数量的需求取决于防御方的拦截能力，而非探测能力。只有任务指标P(≥1)低于18%时（见图4中拐点处），由式（4）估算出来的弹头数量才会低于式（11）。

作为对比，将P(0)=1−P(≥1)代入式（2）解出准确的弹头数量W，并输入仿真软件得到突防概率（见表1）。

表1 弹头的部分仿真结果

b）第2种情形：1）防御系统跟踪目标的概率PTrack=0.98；2）拦截弹对目标的SSPK设为k=0.9。

跟踪目标的概率PTrack降低了，因此将由式（4）来估算进攻弹头的数量。值得注意的是，通过反解式（2）已经无法得出有效的弹头数量（结果均为复数），原因是当PTrack＜1时不保证适用于式（6）及后续证明。实际上由防御系统跟踪目标的概率决定了突防效果。

由图4可知，第1种情形下对弹头数量的估算值明显高于准确值W；而第2种情形下，相同的突防概率需求的弹头数量大幅减少，实际上都来自PTrack的影响。说明准确掌握防御系统的PTrack值十分关键。

4.2 诱饵配合弹头突防

假设防御系统追踪目标的能力足够强，为了提高弹头的突防概率，需要采用诱饵来分散防御系统的攻击。从4.1节第1部分的仿真结果来看，即使投入105枚弹头，突防概率也仅有10%左右。进一步限制W≤50，仿真条件设置如下：

a）防御系统跟踪目标的概率PTrack=0.999；

b）拦截弹对目标的SSPK设为k=0.7；

c）拦截弹总数I=1 200枚。

假设弹头的信号符合标准正态分布N(0,1)，根据式（13），为了确保Pww≥PTrack，有Δ/ σw=3.30，说明防御系统识别区间至少包含[-3.30，3.30]。那么每次当诱饵信号也进入该区间，就会被防御系统识别为弹头。

假设电子诱饵信号特征符合正态分布N(1,1)，红外诱饵符合N(−1,1)，均比弹头信号偏离一倍标准差。令Dj表示雷达诱饵数量，Db表示红外诱饵数量。根据2种诱饵在不同阶段的作用机理，得到：

从式（18）来看，雷达诱饵（指数项）分散了针对每个目标的拦截弹数量，与式（16）左端的含义一致；对于红外诱饵的影响，根据条件概率定义[10]，拦截弹需要先按概率在W+PdwDb个目标里选中弹头，再乘以摧毁弹头的概率k。所以，从形式上可以认为是红外诱饵降低了拦截弹的SSPK。加入诱饵后的仿真结果如表2所示。

表2 加入诱饵的仿真结果

对比4.1节，弹头虽然减少却取得了更好的突防效果，原因分析如下：假设防御系统跟踪能力只受电子诱饵影响，将μw=0，Δ=3.30代入式（14），对电子诱饵的误判率为Pdw≈0.989，表明诱饵几乎全部辨识错误。如果想要避免这样的结果，势必缩小识别区间，尽可能不将诱饵纳入，例如[-2，2]，且不论此时仍有Pdw≈0.84，关键是代入式（12）后Pww＜0.96，则有PTrack＜0.96，根据式（1）当W=50时算出P(0)≈0.13，即突防概率P(≥1)≈0.87。

可以说，诱饵令防御系统的效能大幅度下滑，且无论识别区间如何选取。提示了进攻方一方面要让μd与wμ接近，使得诱饵尽量拟真；另一方面，可以扩大弹头的特征样本散布，即标准差wσ，使得弹头之间互有差异，或者多种弹头混合突防。利用wwP与dwP之间的正相关性来确保突防概率。

5 结束语

经过对导弹攻防对抗的原理和各个环节的分析，本文建立起了基于概率分布的估算模型，以弹头突防概率为指标，结合防御系统的探测、跟踪、可靠性因素，以及目标的识别概率问题，提供了进攻弹和诱饵的数量估算方法。从进攻方的角度来看，除了拦截弹SSPK和数量的因素外，还要考虑防御系统的TrackP和诱饵的dwP可能为弹头突防所带来的贡献。最后通过仿真的方法予以检验，并且分析了估算与仿真的结果，印证了关于弹头、诱饵数量和防御系统内部因素对拦截概率的影响。未来进一步工作可以拓展到不同的拦截弹发射模式，以及多层防御系统效能分析。

[1] Larson E V, Kent G A. A new methodology for assessing multilayer missile defense options [M]. California: RAND, 1994.

[2] Wilkening D A.. A simple model for calculating ballistic missile defense effectiveness [J]. Science & Global Security, 1999, 8(2): 183-215.

[3] Menq J Y, Tuan P C, Liu T S. Discrete Markov ballistic missile defense system modeling[J]. European Journal of Operational Research, 2007, 178(2): 560-578.

[4] Kaminer B Ι, Ben J Z. A methodology for estimating and optimizing effectiveness of non-independent layered defense[J]. Systems Engineering, 2009, 13(2): 119-129.

[5] 杨晓凌, 邱涤珊. 三种不确定性条件下的拦截器目标分配模型[J]. 弹箭与制导学报, 2012, 32(4): 4-8.

[6] 吴钰飞, 罗小明, 申之明, 贺平. 诱饵影响下多枚弹道导弹突防效能研究[J]. 装备学院学报, 2008, 19(3): 57-62.

[7] 吉莉, 陈磊. 基于概率模型的弹道导弹突防措施分析[J]. 火力与指挥控制, 2009, 34(11): 98-101.

[8] 高恩宇, 刘晓坤. 弹道导弹防御系统拦截概率的简化模型[J]. 导弹与航天运载技术, 2013(3): 35-38.

[9] 周民强. 数学分析（第一册）[M]. 上海: 上海科学技术出版社, 2002. [10] 何书元. 概率论与数理统计[M]. 北京: 高等教育出版社, 2006.

[11] 刘芳, 陈万春. PAC-3拦截弹六自由度反导建模与拦截仿真分析 [J].飞行力学, 2012, 30(5): 440-443.

[12] 郭筱曦. 标准-3导弹武器系统建模与攻防对抗仿真[D]. 哈尔滨: 哈尔滨工业大学, 2011.

Estimation and Simulation Analysis Based on Probabilistic Model for the Effectiveness of Penetration and Defense

Xie Jing-wei, Chen Wan-chun
(School of Astronautics, Beijing University of Aeronautics and Astronautics, Beijing, 100191)

A probabilistic model for calculating ballistic missile penetration effectiveness is developed. The objective for judgment is stated as a probability of events during the engagement, not a specific result. Based on this point, the reliability of defense system, and counter-measures that may be used by ballistic missiles is taken into account. Estimation of the amount of ballistic missiles is made to achieve the objective of penetration. At the end of paper, simulation experiments are presented to examine the model. And analyses for simulation results were given which might be available for missile deployment and programming.

Probabilistic model; Ballistic missile penetration; Effectiveness estimation; Probability of identification

TJ76

A

1004-7182(2017)04-0001-05 DOΙ：10.7654/j.issn.1004-7182.20170401