带有混合时变时滞的不确定中立型系统的鲁棒稳定性判据

李奕彤, 苏亚坤

(1. 渤海大学 数理学院, 辽宁 锦州 121013; 2. 渤海大学 大学基础教研部, 辽宁 锦州 121013)

带有混合时变时滞的不确定中立型系统的鲁棒稳定性判据

李奕彤1, 苏亚坤2

(1. 渤海大学 数理学院, 辽宁 锦州 121013; 2. 渤海大学 大学基础教研部, 辽宁 锦州 121013)

主要研究了带有混合时变时滞的不确定中立型系统的鲁棒稳定性问题。在原有单一时变时滞的基础上增加了混合时滞,并且加入了不确定项。首先,选取恰当的Lyapunov泛函,并在求导的过程中应用了Schur补引理和Newton-Leibiniz公式。再引入适当的自由权矩阵.为了方便,将结果以线性矩阵不等式的形式给出。然后,利用Matlab软件中的LMI工具箱求解,得到相应数据,并给出了带有混合时滞的不确定中立型稳定性判据。该方法的优点在于使判据具有较小的保守性。最后,通过数值例子验证了该方法的有效性和优越性。

Lyapunov泛函; 混合时变时滞; 不确定; 自由权矩阵

0 引 言

时滞系统就是系统中一处或几处的信号传递有时间延迟的系统[1-9]。而中立型时滞系统的稳定性判据主要分为2类:时滞相关稳定性判据和时滞无关稳定性判据。因为时滞相关的保守性比时滞无关的保守性判据弱,所以对时滞相关的稳定性分析通常需要构造出合适的Lyapunov泛函,而研究的热点问题多归结于如何降低所得结果的保守性。而时滞依赖稳定性分析技术的发展主要集中在有效减小稳定条件的保守性上。研究方法一般有模型变换法、自由权矩阵方法、积分不等式法、和时滞分割方法等。

本文在原有单一的变时滞中立系统的基础上出现了混合时滞,通过使用自由权矩阵的方法,利用schur性质和时滞相关方法中常用的Newton-Leibiniz公式,得到了该系统的鲁棒稳定性判据。最后,仿真的例子成功的验证了结论的有效性。

1 问题描述

考虑下面一个带有混合时滞的不确定中立型系统:

(1)

式中:x(t)∈Rn是状态变量;τ1(t),τ2(t)>0代表时变时滞;τ:max(τ1(t),τ2(t));A,B,C是Rn×n的常数矩阵;φ(t)是初始变量,且满足下列不等式:

(2)

(3)

其中:A(t)=A+ΔA(t),B(t)=B+ΔB(t);ΔA(t)和ΔB(t)表示具有时变特征的不确定参数矩阵,假设它们范数有界,且满足如下关系:

(4)

式中:Ea,Eb是具有适当维数的常数矩阵;F(t)是一个有Lebesuge可测元的未知函数矩阵,且满足不等式FT(t)F(t)≤I;I为适当维数的常数矩阵。

在引入主要结论之前,先给出4个引理:

引理1 假设D,S,F(t),其中F(t)满足不等式F(t)TF(t)≤I,有下列不等式成立:

1) 对于任意的ε>0和向量x,y∈Rn,总有

2xTDF(t)Sy≤ε-1xTDDTx+εyTSTSy

2) 对于任意的ε>0,使得W-εDDT>0,总有

引理2 [schur性质]线性矩阵不等式

式中:Q(x)=QT(x),R(x)=RT(x)和S(x)依赖于x,则上述不等式等价于:

ⅰ)R(x)<0,Q(x)-S(x)R-1(x)ST(x)<0;

ⅱ)Q(x)<0,R(x)-ST(x)R-1S(x)>0。

引理3 对任意的W∈Rn,W=WT>0,有下列不等式成立:

引理4 对具有适当维数的任意矩阵Q=QT,E,H,对所有满足FT(t)F(t)≤I的矩阵F(t),矩阵不等式

Q+HF(t)E+ETFT(t)HT<0

的必要充分条件是对任意的常数ε>0,都有下述矩阵不等式成立

2 主要结论

证明 首先考虑如下系统;

(6)

为了使问题简化,令D1xt=xt-Cx(t-τ2(t))

构造如下Lyapunov-Krasovskii泛函:

(7)

则V(t)的导数为

(8)

根据引理3可得到如下不等式:

(9)

(10)

(11)

(12)

为了研究不确定中立系统Σ的鲁棒稳定性原则,分别以A+ΔA(t)代替A(t),B+ΔB(t)代替B(t)。则根据引理1,给定任意的ε1>0,则式(7)部分项可得到下列不等式:

2(D1xt)TPDF(t)[Eax(t),Ebx(t)]≤

(13)

由系统(1),并结合具有适当维数的自由权矩阵W1,W2,W3,下列零等式成立:

(14)

根据引理1,则式(14)中部分项可变为

2xT(t)W1ΔA(t)x(t)=2xT(t)W1DF(t)Eax(t)≤

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

综合式(8)～式(20)可得

其中

3 数值例子

考虑带有混合时变时滞的不确定中立型系统(1):

经过求解线性矩阵不等式(5)可以发现,当τm1=T1=0.34,τm2=T2=0.33时可允许的最大时滞上限为-0.173 3,系统仍是渐近稳定的,这充分说明所提方法的有效性。

4 结 语

本文主要研究了带有混合时变时滞的不确定随机中立型系统的稳定性问题,使用自由权矩阵的方法,构造出一个新的Lyapunov泛函来推导不确定中立型时滞系统的稳定性判据。创新之处在于采取混合时滞,且混合时滞的导数不再受限制,最后给出了该系统的渐进稳定性原则。

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Robust stability of uncertain neutral systems with mixed time varying delays

LIYitong1,SUYakun2

(1. College of Mathematics and Physics, Bohai University, Jinzhou 121013, China; 2. Department of the University Foundation, Bohai University, Jinzhou 121013, China)

This paper studies the mixture ofneutral systems with time-varying delays robust stabilization problem. On the basis of the original single time-varying delay,the mixed delay is added, and the uncertaintly is added. By selecting the appropriate Lyapunov function, the Schur complement lemma and the Newton-Leibiniz formula method are used in the derivation process. Reintroduce the free weighting matrix. For convenience, the results are given in the form of linear matrix inequalities. Finally, by using the LMI toolbox of Mablab software the corresponding data is got. The stability criterion with the mixture of neutral systems with time-varying delays is presented. The advantage of this method is that the criterion is conservative. Finally, one numerical example is given to illustrate the effectiveness of the proposed method.

Lyapunov function; mixed time varying delays; uncertain; free-weighting matrix

2017-01-02。

国家自然科学基金资助项目(61403043)。

李奕彤(1993-),女,辽宁黑山人,渤海大学硕士研究生; 通信作者: 苏亚坤(1977-),女,辽宁朝阳人,渤海大学副教授,博士。

1673-5862(2017)03-0300-05

O231; TP273

A

10.3969/ j.issn.1673-5862.2017.03.008